上海市进才中学2026届高三上学期期中考试数学试题（含解析）.docxVIP

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上海市进才中学2026届高三上学期期中考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．函数的最小正周期为．

2．函数的定义域是．

3．已知等差数列的前项和为，若则．

4．已知、是互斥事件，，，则

5．已知，，则

6．4个家长和3个儿童去爬山，7个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为种.

7．若函数为奇函数，则函数，的值域为.

8．已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为.

9．双曲线的左、右焦点分别为、，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为

10．已知，其中为虚数单位，从组合数、、、…、中取出一个数记作，从展开式中项的系数、、、…、中取出一个数记作，若，则的概率为

11．体育器材室定做了半径为，高为的圆柱形球框（有盖也有下底），用来盛放半径为的篮球，则该球框合上盖子最多可以放篮球的个数为个

12．已知，若只有5个不同的实根，则实数a的取值范围是.

二、单选题

13．若，且，则下列不等式中，恒成立的是

A． B． C． D．

14．在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最小的是（???）

??

A． B． C． D．

15．我们把由平面内夹角成的两条数轴、构成的坐标系，称为“广义坐标系”.如图所示，、分别为、正方向上的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量的“广义坐标”，可记作，，，下面表述正确的个数（???）

??

①；

②；

③的充要条件是.

A．0 B．1 C．2 D．3

16．已知数列不是常数列，前项和为，且．若对任意正整数，存在正整数，使得，则称是“可控数列”．现给出两个命题：①存在等差数列是“可控数列”；②存在等比数列是“可控数列”．则下列判断正确的是（????）

A．①与②均为真命题 B．①与②均为假命题

C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题

三、解答题

17．玉溪青花瓷起源于元末明初，与江西景德镇、浙江江山并称“中国三大青花瓷产地”．其采用玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的成品率分别为，．

(1)求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率；

(2)设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，求的分布列及期望．

18．如图，三棱柱是所有棱长均为2的直三棱柱，为棱中点.为棱上一点.

(1)求证：平面平面；

(2)若二面角的余弦值为，求的长度.

19．已知向量，，记函数.

(1)若为偶函数，求的最小值；

(2)把图象向右平移个单位长度，得到函数图象.若函数在区间内恰有20个零点，求的最小值.

20．已知和为椭圆上两点.

(1)求的离心率；

(2)若过点的直线交于另一点，且的面积为12，求直线的方程；

(3)设过点的动直线与椭圆有两个交点、，试判断在轴上是否存在点使得向量所成角恒成立，若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由.

21．平面直角坐标系中，已知两点、，定义为、两点间“曼哈顿距离”，定义为、两点间“欧几里得距离”.

(1)为坐标原点，已知点满足，求的最小值；

(2)为坐标原点，已知点满足，为函数图像上动点，求最小值；

(3)已知函数，，对于函数图象上的点、有的最小值为4，求的值.

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《上海市进才中学2026届高三上学期期中考试数学试题》参考答案

题号

13

14

15

16

答案

D

B

C

D

1．

【分析】利用求出最小正周期.

【详解】的最小正周期为.

故答案为：

2．

【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．

【详解】要使函数有意义，则，解得，

即函数的定义域为.

故答案为：．

3．48

【分析】根据等差数列的求和公式即可求解.

【详解】．

故答案为：48

4．

【分析】根据互斥事件的性质，若、是互斥事件，则；

根据题中条件即可求出结果.

【详解】因为、是互斥事件，，，

所以，因此.

故答案为

【点睛】