高考数学压轴题 圆锥曲线专题复习：斜率问题三（解析版）.pdfVIP

高考数学压轴题

斜率问题（三）

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，斜率的计算；

应用目标：掌握圆锥曲线中斜率的加减乘除运算，并利用计算进行证明；

拓展目标：能够熟练应用圆锥曲线中的斜率关系，解决相关的位置关系和等量关

系问题.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能

力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

1、斜率之和：通过点的坐标，表示出斜率，并表示出，利用通分，转化为两根之和，

两根之积的问题，利用韦达定理求解。

2、斜率相乘或相除：通过点的坐标，表示出斜率，并表示出或；利用通分，转化

为两根之和，两根之积的问题，利用韦达定理求解。

3、斜率倍数关系：通过点的坐标，表示出斜率，并表示出，转化为；利用

通分，转化为两根之和，两根之积的问题，利用韦达定理求解。

4、斜率呈等差数列或等比数列：当斜率呈等差数列时，则，当斜率

呈等比数列时，则，最后利用通分，转化为两根之和，两根之积的问题，

利用韦达定理求解。

5、斜率求解范围：通过点的坐标，表示出斜率，并表示斜率的关系；利用通分，转化为两

根之和，两根之积的问题，韦达定理带入，最后利用基本不等式、二次函数或导数求解最

值。

【考点剖析】

考点一：斜率关系一（斜率加减运算）

例1．在平面直角坐标系中，已知点，，点M满足

．记点M的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)设直线l不经过点且与曲线C相交于A，B两点．若直线l过定点，证明：

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直线PA与直线PB的斜率之和为定值.

【答案】(1)；(2)证明见解析.

解析：(1)由椭圆定义可知，点M的轨迹为椭圆，设椭圆方程为，

根据题意得，，，，

所以曲线C的方程为；

(2)设直线PA与直线PB的斜率分别为，，，，

当直线l斜率不存在时，，代入椭圆方程中，化简可得，

不妨令，，则；

当直线l斜率存在时，设直线l方程为，将直线l的方程代入椭圆方

程中，

化简得，

由得,

解得或，由直线l不经过点可知，

∴，，

∴

；

综上，直线PA与直线PB的斜率之和为定值．

变式训练1：如图，椭圆经过点，且长轴长是短轴长的

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倍．

(1)求椭圆的方程；

(2)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、（均异于点），求证：

直线与的斜率之和为定值．

【答案】(1)；(2)证明见解析.

解析：(1)将点的坐标代入椭圆的方程，可得，由已知可得，