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单变量不等式能成立之参变分离法

【方法总结】

单变量不等式能成立之参变分离法

参变分离法是将不等式变形成一个一端是f(a)，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，

若f(a)≥g(x)在x∈D上能成立，则f(a)≥g(x)min；若f(a)≤g(x)在x∈D上能成立，则

f(a)≤g(x)max．特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式g(x)的

不等式后，若a≥g(x)在x∈D上能成立，则a≥g(x)min；若a≤g(x)在x∈D上能成立，则

a≤g(x)max．

利用分离参数法来确定不等式f(x，a)≥0(x∈D，a为实参数)能成立问题中参数取值范围

的基本步骤：

(1)将参数与变量分离，化为f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．

(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值．

(3)解不等式f1(a)≥f2(x)min或f1(a)≤f2(x)max，得到a的取值范围．

注意“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，

应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究

竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决

相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出

错．

【例题选讲】

1

2

[例1]已知函数f(x)＝3lnx－x＋x，g(x)＝3x＋a．

2

(1)若f(x)与g(x)的图象相切，求a的值

(2)若∃x0，使f(x)g(x)成立，求参数a的取值范围．

000

33

解析(1)由题意得，f′(x)＝－x＋1，设切点为(x，f(x))，则k＝f′(x)＝－x＋1＝3，

0000

xx0

15

解得x0＝1或x0＝－3(舍)，所以切点为1，代入g(x)＝3x＋a，得a＝－．

(，2)2

11

22

(2)设h(x)＝3lnx－x－2x，∃x0，使f(x)g(x)成立，等价于∃x0，使h(x)＝3lnx－x

000

22

－2xa成立，

等价于ah(x)max(