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单变量含参不等式证明方法之合理消参

【例题选讲】

x

[例1](2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ae－lnx－1．

(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；

1

(2)证明：当a≥时，f(x)≥0．

e

x

[例2]设a为实数，函数f(x)＝e－2x＋2a，xR．

(1)求f(x)的单调区间与极值；

x2

(2)求证：当aln2－1且x0时，ex－2ax＋1．

[例3]设函数f(x)＝e2x－alnx．

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；

2

(2)证明：当a0时，f(x)≥2a＋aln．

a

[例4]已知函数，（为自然对数的底数）．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：当时，不等式成立．

【对点精练】

x

1．已知函数f(x)＝(x＋b)(e－a)(b0)，在(－1，f(－1))处的切线方程为(e－1)x＋ey＋e－1＝

0．

(1)求a，b；

2

(2)若m≤0，证明：f(x)≥mx＋x．

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2．已知f(x)＝lnx－x＋a＋1．

(1)若存在x(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，求实数a的取值范围；

11

2

(2)求证：当x＞1时，在(1)的条件下，x＋ax－a＞xlnx＋成立．

22

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2

3．(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx＋ax＋(2a＋1)x．

(1)讨论f(x)的单调性；

3

(2)当a0时，证明f(x)≤－－2．

4a

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x＋m3

4．已知函数f(x)＝e－x，g(x)＝ln(x＋1)＋2．

(1)若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为1，求实数m的值；

3

(2)当m≥1时，证明：f(x)＞g(x)－x．

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5．已知函数f(x)＝ex＋a－lnx(其中e＝2.71828…，是自然对数的底数)．

(1)当a＝0时，求函数f(x)的图