高中数学精品专题 单变量恒成立之参变分离后导函数零点可求型（学生版).pdfVIP

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单变量恒成立之参变分离后导函数零点可求型

【方法总结】

单变量恒成立之参变分离法

参变分离法是将不等式变形成一个一端是f(a)，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，

若f(a)≥g(x)在x∈D上恒成立，则f(a)≥g(x)max；若f(a)≤g(x)在x∈D上恒成立，则

f(a)≤g(x)min．特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式g(x)的

不等式后，若a≥g(x)在x∈D上恒成立，则a≥g(x)max；若a≤g(x)在x∈D上恒成立，则

a≤g(x)min．

利用分离参数法来确定不等式f(x，a)≥0(x∈D，a为实参数)恒成立问题中参数取值范围

的基本步骤：

(1)将参数与变量分离，化为f1(a)≥f2(x)或f1(a)≤f2(x)的形式．

(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值．

(3)解不等式f1(a)≥f2(x)max或f1(a)≤f2(x)min，得到a的取值范围．

【例题选讲】

32

[例1]已知f(x)＝xlnx，g(x)＝x＋ax－x＋2．

(1)求函数f(x)的单调区间

(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．

a

2

[例2]已知函数f(x)＝lnx＋x－(a＋1)x．

2

(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝－2，求f(x)的单调区间

f(x)f′(x)

(2)若x0时，恒成立，求实数a的取值范围．

x2

x2

[例3](2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝e＋ax－x．

(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性

1

3

(2)当x≥0时，f(x)≥x＋1，求a的取值范围．

2

【对点精练】

x

1．已知函数f(x)＝axe－(a＋1)(2x－1)．

(1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程

(2)当x＞0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．

x2

2．已知函数f(x)＝e(ax＋x＋a)(a≥0)．

(1)求函数f(x)的单调区间

x2

(2)若函数f(x)≤e(ax＋2x)＋1恒成立，求实数a的取值范围．

3．已知函数f(x)＝lnx．

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(1)求函数g(x)＝f(x＋1)－x的最大值

2

(2)若对任意x0，不等式f(x)≤ax≤x＋1恒成立，求实数a的取值范围．

x2

4．已知函数f(x)＝(x－1)e－ax(e是自然对数的底数)．

(1)讨论函数f(x)的极值点的个数，并说明理由

x3

(2)若对任意的x0，f(x)＋e≥x＋x，求实数a的取值范围．