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导数中隐零点的应用

【方法总结】

利用导数解决函数问题常与函数单调性的判断有关，而函数的单调性与其导函数的零点

有着紧密的联系，按导函数零点能否求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，

称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法用显性的代数表达的(f′(x)＝0是超越形

式)，称之为“隐零点”．对于隐零点问题，常常涉及灵活的代数变形、整体代换、构造函数、

不等式应用等技巧．

用隐零点处理问题时，先证明函数f(x)在某区上单调，然后用零点存在性定理说明只有

一个零点．此时设出零点x，则f′(x)＝0的根为x，即有f′(x)＝0．注意确定x的合适范围，

0000

如果含参x0的范围往往和参数a的范围有关．这时就可以把超越式用代数式表示，同时根

据x0的范围可进行适当的放缩．从而问题得以解决．基本解决思路是：形式上虚设，运算

上代换，数值上估算．用隐零点可解决导数压轴题中的不等式证明、恒成立能成立等问

题．

隐零点问题求解三步曲

(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x)＝0，并结合f′(x)

0

的单调性得到零点的取值范围．

(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式．

(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可

以适当缩小．

注意：

确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数

的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到等等．至于隐性零点的范围精确到多少，由所求

解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围．进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变

形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的

关键．最后值得说明的是，隐性零点代换实际上是一种明修栈道，暗渡陈仓的策略，也是数

学中“设而不求”思想的体现．

考点一不等式证明中的“隐零点”

【例题选讲】

[例1](2015全国Ⅱ)设函数f(x)＝e2x－alnx．

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)的零点的个数；

2

(2)证明：当a0时，f(x)≥2a＋aln．

a

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x

[例2](2013全国Ⅱ)设函数f(x)＝e－ln(x＋m)．

(1)若x＝0是f(x)的极值点，求m的值，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，求证：f(x)＞0．

x

[例3]已知函数f(x)＝xe－a(x＋lnx)．

(1)讨论f(x)极值点的个数；

3

(2)若x是f(x)的一个极小值点，且f(x)0，证明：f(x)2(x－x)．

00000

x

[例4]已知函数f(x)＝ae＋sinx＋x，x∈[0，π]．

(1)证明：当a＝－1时，函数f(x)有唯一的极大值点；

(2)当－2a0时，证明：f(x)π．

【对点训练】

x

1．已知函数f(x