高考数学压轴题 圆锥曲线专题复习一讲：仿射变换（解析版）.pdfVIP

高考数学压轴题

仿射变换

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆的简单性质，椭圆与圆的变换过程；

应用目标：掌握椭圆相关，求解点，点和面积的关系，与圆之间的变换形式；

拓展目标：能够熟练应用仿射，将椭圆变换成圆，进行更加特殊化处理先关问题.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能

力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

我们以椭圆为例阐述上述性质．

椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变

换过程有如下对应关系：

（1）点变为；

（2）直线斜率变为，对应直线的斜率比不变；

（3）图形面积变为，对应图形面积比不变；

（4）点、线、面位置不变（平直线还是平直线，相交直线还是相交直线，中点依然是

⾏⾏

中点，相切依然是相切等）；

（5）弦长关系满足，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变

总结可得下表：

变换前变换后

方程

横坐标

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纵坐标

斜率

面积

弦长

不变量平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比

拓展：（1）圆的面积为，所以椭圆的面积为.

（2）在椭圆中，面积的最大值：.

【考点剖析】

考点一：点、线的仿射变换

例题1、MN是椭圆上一条不过原点且不垂直于坐标轴的弦，P

是MN的中点，则_________，A，B是该椭圆的左右顶点，Q是椭圆上不与A，B重

合的点，则_________．CD是该椭圆过原点O的一条弦，直线CQ，DQ斜率均存在，

则_________．

【答案】

【解析】作变换，那么椭圆变为圆，方程为：，

是中点，那么，

∴，

是圆的左右顶点即直径，那么，∴

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，

是过圆心O的一条弦即直径，那么，

∴．

变式训练1、设直线和椭圆有且仅有一个公共点，求和的取值范

围．

解析：令，则已知椭圆和直线变为相应的圆和直线，

要使已知的直线与椭圆有且仅有一个公共点，只要相应的直线与圆相切．

由直线和圆相切的充要条件可知，即，

故得，

即，

解得．

变式训练2、在椭圆上求一点，使它到直线的距离最短，并求

此距离．

解析：作仿射变换，则已知椭圆和直线变为相应的圆和直线

，

从而所求问题变