高考数学压轴题 圆锥曲线专题复习：图形问题3（解析版）.pdfVIP

高考数学压轴题

图形问题3

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，特殊四边形的性质；

应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中四边形的几何特征，以及几何特征的代

数转换；

拓展目标：能够熟练应用平行四边形，梯形的几何特征，并利用对应的向量和弦

长进行表示，达到数与形的结合，解决相关四边形问题.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能

力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

1、平行四边形

①一组对边平行且相等的四边形，是平行四边形，可以翻译用向量相等

②对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以翻译中点为同一个点.

2、梯形

一组对边平行，但不相等的四边形，可以用斜率进行翻译，且长度不等即可.

【考点剖析】

考点一：平行四边形

例1．已知椭圆C的中心在坐标原点．焦点在坐标轴上，且椭圆C经过点

．

(1)求C的标准方程；

(2)已知F是C的右焦点，P是C上一点（P在第一象限），且PF垂直于x轴，直线

与C交于M，N两点，求证：四边形PMFN是平行四边形．

【答案】(1)

(2)证明过程见详解

高考数学压轴题

【详解】（1）设椭圆方程为，因为椭圆经过点，所

以，解得：，

所以椭圆的方程为：.

（2）由（1）知：，所以所在直线方程为：，则，设，

，

将直线方程与椭圆方程联立，整理可得：

，则，，

因为，，

所以，

又因为，

，

所以，

所以四边形是平行四边形

变式训练1．已知椭圆：的左、右焦点，恰好是双曲线

的左右顶点，椭圆上的动点满足，过点的直线交椭

圆C于，两点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)椭圆上是否存在点使得四边形（为原点）为平行四边形？若存在，求出所

有点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

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(2)存在，使得四边形为平行四边形

解析：（1）因为的左右顶点为和，所以，

因为，所以，所以，因为，

所以，所以椭圆的标准方程为：

（2）假设存在点使得四边形（为原点）为平行四边形，设，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，所以，，

因为为平行四边形，所以，所以，

所以，即，点在椭圆上，符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，，，

，整理得