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初一常用几何证明的定理总结

几何证明是初中数学的重要组成部分，而定理则是进行推理证明的基石。对于刚接触几何的初一同学来说，熟练掌握并灵活运用这些基本定理，是打开几何推理大门的钥匙。本文将对初一阶段常用的几何定理进行梳理和总结，希望能为同学们的学习提供一些帮助。

一、直线、射线、线段相关公理与性质

在我们研究几何图形时，直线、射线和线段是最基本的构成元素。关于它们，有几个非常基础但至关重要的公理：

1.直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单来说，就是“两点确定一条直线”。这个公理告诉我们，给定两个点，就能唯一地确定一条直线。在证明中，我们常常需要依据这个公理来判断两条直线是否为同一条，或者用于确定一条直线的位置。

2.线段公理：两点之间，线段最短。这一公理直观易懂，它揭示了“最短路径”的基本原理。在涉及比较路径长短或寻找最短距离的问题中，这个公理有着广泛的应用。我们也常用它来解释一些生活中的现象，比如为什么我们走路会抄近道。

3.线段的比较与中点：

*叠合法：比较两条线段的长短，可以把它们叠合在一起，使一个端点重合，观察另一个端点的位置关系。

*度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再进行比较。

*中点的定义与性质：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。如果点M是线段AB的中点，那么AM=MB=1/2AB，反之亦然。这是线段中点最核心的性质，在几何计算和证明中频繁使用。

二、角相关的定义、公理与性质

角是由两条有公共端点的射线组成的图形。围绕角，我们有以下常用的定理和性质：

1.角的定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。

2.角的度量：角的大小可以用量角器量出度数，度、分、秒是常用的角的度量单位。

3.角的比较方法：

*叠合法：把一个角放到另一个角上，使它们的顶点重合，一条边重合，观察另一条边的位置。

*度量法：用量角器量出角的度数，再进行比较。

4.角的平分线定义与性质：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠COB=1/2∠AOB，反之亦然。角平分线的性质在证明角相等时非常重要。

5.平角与周角的定义：平角的度数是180度，周角的度数是360度。这两个特殊角的度数是我们进行角度计算和证明角之间关系的重要参考。

三、相交线与平行线相关定理

相交线与平行线是初一几何的重点内容，涉及诸多重要定理。

（一）相交线所形成的角

1.对顶角的性质：对顶角相等。当两条直线相交时，会形成两组对顶角，这个性质简洁明了，是证明两个角相等的常用依据。

2.邻补角的定义与性质：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。邻补角的和为180度（互补）。这既是邻补角的定义，也是其重要性质，在角度计算和证明两角互补时常用。

（二）垂线的性质

1.垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90度）时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

2.垂线的性质：

*在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

*连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。由此我们引出了点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

（三）平行线的判定与性质

平行线的判定定理：（用于判断两条直线是否平行）

1.同位角相等，两直线平行。

2.内错角相等，两直线平行。

3.同旁内角互补，两直线平行。

4.平行于同一条直线的两条直线互相平行。（如果a∥b，b∥c，那么a∥c）

5.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

平行线的性质定理：（已知两条直线平行，能得出什么结论）

1.两直线平行，同位角相等。

2.两直线平行，内错角相等。

3.两直线平行，同旁内角互补。

这里需要特别注意区分平行线的“判定”和“性质”。判定是由角的关系得到线平行，而性质是由线平行得到角的关系，它们互为因果，在证明题中经常结合使用。

四、三角形相关的基本定理

初一阶段，我们主要学习了三角形的基本概念和全等三角形。

（一）三角形的内角和定理

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。这个定理是三角形中角度计算和证明角之间关系的核心依据。我们可以通过作辅助线（如过一点作平行线）来证明它。

（二）三角形的外角性质

1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

2.三角形的一个外角大于与它不