八年级数学（北师大版）寒假提升-第05讲 线段的垂直平分线（原卷版）.docxVIP

第05讲线段的垂直平分线

思维导图

核心考点聚焦

1.线段的垂直平分线的性质

2.线段的垂直平分线的判定

3.线段的垂直平分线的实际应用

4.尺规作图——作线段的垂直平分线

1.线段的垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

①如图，直线l垂直平分线段AB，P1、P2、P3是l上的点.试说明P1A=P1B.

∵直线l⊥AB，∴∠P1CA=∠P1CB.

又CA=CB，P1C=P1C，

∴△P1CA≌△P1CB(SAS).

∴P1A=P1B.

几何语言叙述：∵直线l垂直平分AB，P是直线l上任意一点，

∴PA=PB.

2.线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

如图，在△PAB中，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？请证明这个结论？

点P在线段AB的垂直平分线上

作PC⊥AB，垂足为C，则∠ACP=∠BCP=90°，

在Rt△PAC和Rt△PBC中，PA=PB，PC=PC，

∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).

∴AC=BC.

∴PC是AB的垂直平分线，

即点P在线段AB的垂直平分线上.

几何语言叙述：∵PA=PB;

∴P点在AB的垂直平分线上.

3.尺规作图——作线段的垂直平分线：

（1）分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；

说明：作弧时的半径必须大于的长，否则就不能得到两弧的交点了；

（2）作直线CD，CD即为所求直线；

说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线.

1.线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

2.线段的垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

考点剖析

考点一、线段的垂直平分线的性质

例题：如图，在中，，，垂直平分，的周长为20，．

(1)求的周长．

(2)求的度数．

【解析】（1）∵垂直平分，

∴，

∵的周长为20，，

∴，

∴，

∴的周长为；

（2）∵在中，，，

∴，

∵，

∴，

∴．

【变式训练】

1．如图，在中，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为．

【答案】

【解析】是线段的垂直平分线，

，

，

，

，

，

故答案为：．

2．如图，在中，是边的垂直平分线，交于，交于，连接．

(1)若，求的度数．

(2)若，且的周长为，的周长为，求的长．

【解析】（1）∵，

∴，

∵是边的垂直平分线，

∴，

∴，

∴；

（2）∵，

∴的周长为，

∵的周长为，

∴，

∴．

考点二、线段的垂直平分线的判定

例题：如图，中，，连接是上一点且．

(1)求证：垂直平分．

(2)已知求的面积．

【解析】（1），，

∴点A在垂直平分线上，点E在垂直平分线上，

垂直平分；

（2）中，

，，

，

，

过点作于，

，

的面积．

【变式训练】

1.如图，为等边三角形，，，相交于点E．

(1)求证：垂直平分；

(2)求的长；

(3)若点F为的中点，点P在上，则的最小值为______．（直接写出结果）．

【解析】（1）∵是等边三角形，

∴；

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴垂直平分；

（2）∵，

∴平分，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

（3）连接交于点，连接，

∵是的垂直平分线，

的最小值为

是的中点，

故答案为：6．

2.如图，是等边三角形，是中线，延长至，使．

(1)求证：；

(2)过点A作，交延长线于点，DF交于，连接．

①若，则．

②求证：垂直平分．

【解析】（1）是等边三角形，是中线，

，，

又，

，

又，

，

，

；

（2）①∵是等边三角形，是中线，

∴，，

根据解析（1）可知，，

∴，

∵，

∴，

根据（1）可知，，

∴，

∵，

∴，

解得；

故答案为：8；

②∵，

，

为的中线，

∴

∵，

，

，，

，

是等边三角形，

，

，

垂直平分．

考点三、线段的垂直平分线的实际应用

例题：如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在(???)

A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点

C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点

【答案】A

【解析】∵猫所在的位置到A、B、C三个点的距离相等，

∴猫应该蹲守在三边垂直平分线的交点处；

故选A．

【变式训练】

1．如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（????）

A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点

C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点

【答案】B

【解析】根据线段的垂直平