2026一轮数学教辅电子版-第1节 平行关系证明思路大全（2）.docxVIP

强化训练

1．（2024·江苏南京模拟（节选）·★★）

如图，在四面体ABCD中，△ACD是边长为3的正三角形，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，E，F分别为线段AB，BC的中点，，，求证：EF∥平面MNB.

1．证明：（证线面平行，先找线线平行.观察图形可发现EF

∥MN，故尝试通过证此线线平行来证EF∥平面MNB）

因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC①，

又因为，，所以，

故MN∥AC，结合①可得EF∥MN，

又平面MNB，平面MNB，

所以EF∥平面MNB.

2．（2024·广东广州一模（节选）·★★）

如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，

，点M，N分别为DP和AB的中点，求证：MN∥平面PBC.

2．证明：（证线面平行，先找线线平行.观察发现若过面PBC

内的点B作MN的平行线，则作出来BQMN像平行四边形，且Q为PC中点（如图），思路就有了）

如图，取PC的中点Q，连接MQ，BQ，因为点M，Q分别是PD，PC的中点，所以MQ∥CD且，

又因为ABCD是菱形，点N是AB的中点，所以BN∥CD且，故MQ∥BN且，

所以四边形MNBQ是平行四边形，故MN∥BQ，

又因为平面PBC，平面PBC，

所以MN∥平面PBC.

3．（2024·广东模拟（节选）·★★）

如图，在直三棱柱中，D为的中点，证明：∥平面.

3．证明：（观察发现和位于面两侧，由内容提要

2的①可知只需连接，证明∥DG即可）

如图，取中点G，连接DG，，因为是直三棱柱，所以四边形是矩形，

从而，G，C三点共线，且G为的中点，

又因为D为的中点，所以DG∥，

因为平面，平面，

所以∥平面.

4．（2023·山东潍坊三模（节选）·★★☆）

如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆O的内接正三角形，且边长为，点E在母线PC上，且，，求证：直线平面BDE.

4．证明：（观察发现PO和C位于面BDE两侧，由内容提要2

的①可知只需证PO∥面POC与面BDE的交线EF，可尝试通过分析E，F在PC，OC上的位置来证明）

设，连接EF，由题意，是边长为的正三角形，O是其外心，所以F是BD的中点，

且，，

所以，，且F是OC的中点，

又，，所以，

故，且，

所以，结合得是正三角形，

又因为，所以E为PC中点，

结合F为OC中点可得EF∥PO，因为平面BDE，

平面BDE，所以PO∥平面BDE.

5．（2023·广东六校联考（节选）·★★☆）

如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面ABCD垂直，BC∥平面PAD，，E是棱PD上的动点，当E是棱PD的中点时，求证：CE∥平面PAB.

5．证明：（要证线面平行，先找线线平行.可过B作CE的平

行线，作好就发现BCEF像平行四边形，如下图，故尝试证明）如图，取PA中点F，连接BF，EF，

因为E是PD中点，所以EF∥AD且①，

（还需再证BC也平行且等于AD的一半，条件并未给出BC∥AD，给的是BC∥平面PAD，故考虑线面平行的性质定理）因为BC∥平面PAD，平面ABCD，平面ABCD

平面，所以BC∥AD，

又，结合①可得BC∥EF且，

所以四边形BCEF是平行四边形，故CE∥BF，

因为平面PAB，平面PAB，

所以CE∥平面PAB.

6．（2023·湖北模拟（节选）·★★）

如图，平面ABCD，BF∥平面ADE，CF∥AE，，，，证明：AD∥BC.

6．证明：（条件中有线面平行，要证的是线线平行，这些都提

示了我们该考虑性质定理，结合图形知可先证面BCF∥面ADE，再用面面平行的性质定理证结论）

因为CF∥AE，平面ADE，平面ADE，

所以CF∥平面ADE，

又由题意，BF∥平面ADE，且CF，平面BCF，

，所以平面BCF∥平面ADE，

因为平面平面，

平面平面，所以AD∥BC.

7．（★★☆）

如图，三棱柱的所有棱长均为2，，P，Q分别在AB，上（不包括端点），，证明：PQ∥平面.

7．证法1：（先过作PQ的平行线，观察发现像平行

四边形，思路就有了）

如图1，作PD∥AC交BC于D，则是正三角形，

设，则，故，

又，所以，

因为∥AC，PD∥AC，所以∥PD，

从而四边形是平行四边形，故PQ∥，

因为平面，，

所以PQ∥平面.

证法2：（若没想到构造平行四边形，也可尝试造面，不妨先过P作面的平行线）

如图2，作PE∥BC交AC于E，连接QE，

因为平面，平面，

所以PE∥平面①，

由题意，是正三角形，所以也是正三角形，

故，又，所以，

结合AE∥可得四边形是平行四边形，

所以QE∥，又∥，所以QE∥，

因为平面，平面，

所以QE∥平面②，

因为QE，PE平面PQE，，

结合①②可得平面PQE∥平面，

因为平面PQE，所以P