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概率论与数理统计参数估计考试及答案

一、填空题

1.设总体$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，则$\overline{X}$是$\mu$的______估计。

2.设总体$X$的概率密度为$f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},x\gt0\\0,x\leq0\end{cases}$，其中$\theta\gt0$为未知参数，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，则$\theta$的矩估计量为______。

3.设总体$X$的分布律为$P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$，$k=0,1,2,\cdots$，$\lambda\gt0$为未知参数，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，则$\lambda$的最大似然估计量为______。

4.设总体$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$\sigma^{2}$已知，$\mu$未知，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，对于给定的置信水平$1-\alpha$，$\mu$的置信区间为______。

5.设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，$\hat{\theta}_1$和$\hat{\theta}_2$是未知参数$\theta$的两个无偏估计量，若______，则称$\hat{\theta}_1$比$\hat{\theta}_2$更有效。

6.设总体$X\simU(0,\theta)$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，则$\theta$的矩估计量为______。

7.设总体$X$的概率密度为$f(x;\theta)=\begin{cases}\thetax^{\theta-1},0\ltx\lt1\\0,其他\end{cases}$，$\theta\gt0$为未知参数，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，则$\theta$的最大似然估计值满足方程______。

8.设总体$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$\mu$和$\sigma^{2}$均未知，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，$S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$，则$\sigma^{2}$的无偏估计量是______。

9.设总体$X$的均值$\mu$和方差$\sigma^{2}$存在，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$，则$E(\overline{X})=$______。

10.设总体$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$\mu$未知，$\sigma^{2}$已知，为使总体均值$\mu$的置信水平为$1-\alpha$的置信区间长度不超过$l$，则样本容量$n$至少应取______。

二、单项选择题

1.设总体$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，$\mu$未知，$\sigma^{2}$已知，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，则$\mu$的无偏估计量是（）

A.$\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_i$

B.$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1}X_i$

C.$\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n}X_i$

D.$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$

2.设总体$X\simU(a,b)$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，则$a$和$b$的矩估计量分别为（）

A.$\overline{X}-\sqrt{3}S$，$\overline{X}+\sqrt{3}S$

B.$\overline{X}-S$，$\overline{X}+S$

C.$\overline{X}-\sqrt{2}S$，$\overline{X}+\sqrt{2}S$

D.$\overline{X}-2S$，$\overline{X}+2S$

3.设总体$X$的概率密度