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线性代数向量空间考试及答案

线性代数向量空间考试试卷

一、填空题（10题，每题1分）

1.设向量组$\alpha_1=(1,2,3)^T$，$\alpha_2=(2,4,6)^T$，则该向量组的秩为______。

2.已知向量空间$V$的一组基为$\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$，向量$\beta=2\alpha_1-3\alpha_2+\alpha_3$，则$\beta$在基$\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$下的坐标为______。

3.若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关，则至少存在一个向量可由其余______个向量线性表示。

4.设向量空间$V$是由向量$\alpha_1=(1,0,0)^T$，$\alpha_2=(0,1,0)^T$生成的，则$V$的维数是______。

5.已知向量$\alpha=(1,-1,2)^T$，$\beta=(2,1,-1)^T$，则$\alpha$与$\beta$的内积$(\alpha,\beta)$为______。

6.若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$线性相关，则$\alpha_4$可由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$______表示。

7.设向量空间$V$中，向量$\alpha$在基$\{\xi_1,\xi_2\}$下的坐标为$(x_1,x_2)$，在基$\{\eta_1,\eta_2\}$下的坐标为$(y_1,y_2)$，且从基$\{\xi_1,\xi_2\}$到基$\{\eta_1,\eta_2\}$的过渡矩阵为$P$，则$(x_1,x_2)^T=$______。

8.已知向量组$\alpha_1=(1,1,1)^T$，$\alpha_2=(1,2,3)^T$，$\alpha_3=(2,3,k)^T$线性相关，则$k=$______。

9.设$V$是$n$维向量空间，$W$是$V$的子空间，若$\dim(W)=m$，则$\dim(W^{\perp})=$______。

10.向量组$\alpha_1=(1,0,0)^T$，$\alpha_2=(0,1,0)^T$，$\alpha_3=(0,0,1)^T$的一个极大线性无关组是______。

二、单项选择题（10题，每题2分）

1.设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$的秩为$r$，则下列说法正确的是（）

A.向量组中任意$r$个向量线性无关

B.向量组中任意$r+1$个向量线性相关

C.向量组中存在$r$个向量线性相关

D.向量组中存在$r+1$个向量线性无关

2.若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）

A.$\alpha_1+\alpha_2$，$\alpha_2+\alpha_3$，$\alpha_3-\alpha_1$

B.$\alpha_1+\alpha_2$，$\alpha_2+\alpha_3$，$\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3$

C.$\alpha_1-2\alpha_2$，$2\alpha_2-3\alpha_3$，$3\alpha_3-\alpha_1$

D.$\alpha_1+\alpha_2$，$2\alpha_2+3\alpha_3$，$3\alpha_3+\alpha_1$

3.设向量空间$V$是由向量$\alpha_1=(1,2,3)^T$，$\alpha_2=(2,4,6)^T$，$\alpha_3=(3,6,9)^T$生成的，则$\dim(V)$等于（）

A.1

B.2

C.3

D.0

4.已知向量$\alpha=(1,2,3)^T$，$\beta=(-1,-2,-3)^T$，则$\alpha$与$\beta$的关系是（）

A.线性无关

B.正交

C.共线

D.以上都不对

5.设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关，则必有（）

A.$\alpha_1=0$

B.存在不全为零的数$k_1,k_2,\cdots