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线性代数方程组考试及答案

线性代数方程组试卷

一、填空题（10题，每题1分）

1.对于线性方程组$Ax=b$，若$A$是$m×n$矩阵，当$r(A)=r(A,b)\ltn$时，方程组有_______解。

2.已知齐次线性方程组$x_1+x_2+kx_3=0$，$x_1+kx_2+x_3=0$，$kx_1+x_2+x_3=0$有非零解，则$k$的值为_______。

3.设线性方程组$Ax=b$的增广矩阵经初等行变换化为$\begin{pmatrix}1203\\001-1\\000a-1\end{pmatrix}$，则当$a=$_______时，方程组有解。

4.已知线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=0\\x_1+2x_2+ax_3=0\\x_1+4x_2+a^2x_3=0\end{cases}$有非零解，则$a$的值为_______。

5.若线性方程组$Ax=0$只有零解，则$r(A)$_______未知数的个数。

6.设$A$为$3$阶方阵，$r(A)=2$，则齐次线性方程组$Ax=0$的基础解系所含向量的个数为_______。

7.已知线性方程组$Ax=b$的两个解为$\xi_1=(1,2,3)^T$，$\xi_2=(2,3,4)^T$，则$\xi_1-\xi_2$是_______的解。

8.若线性方程组$Ax=b$有唯一解，那么$Ax=0$有_______解。

9.设$A$是$4×5$矩阵，$r(A)=3$，则齐次线性方程组$Ax=0$的解空间的维数是_______。

10.对于非齐次线性方程组$Ax=b$，若$r(A)\ltr(A,b)$，则方程组_______解。

二、单项选择题（10题，每题2分）

1.设$A$是$m×n$矩阵，齐次线性方程组$Ax=0$仅有零解的充分必要条件是（）

A.$A$的列向量组线性无关

B.$A$的列向量组线性相关

C.$A$的行向量组线性无关

D.$A$的行向量组线性相关

2.已知非齐次线性方程组$Ax=b$的增广矩阵经初等行变换化为$\begin{pmatrix}12031\\001-12\\0000k-3\end{pmatrix}$，则当$k$（）时，方程组有解。

A.$=3$

B.$\neq3$

C.$=0$

D.$\neq0$

3.设$A$是$n$阶方阵，若$r(A)=n-1$，则齐次线性方程组$Ax=0$的基础解系所含向量的个数为（）

A.$0$

B.$1$

C.$n-1$

D.$n$

4.若线性方程组$Ax=b$中方程的个数少于未知数的个数，则（）

A.$Ax=b$必有无穷多解

B.$Ax=b$必有唯一解

C.$Ax=0$必有非零解

D.$Ax=0$只有零解

5.设$A$是$3×4$矩阵，$r(A)=2$，则齐次线性方程组$Ax=0$的解空间的维数是（）

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$

6.已知线性方程组$Ax=b$有解，若系数矩阵$A$的秩为$3$，则增广矩阵$(A,b)$的秩为（）

A.$2$

B.$3$

C.$4$

D.不确定

7.设$\xi_1$，$\xi_2$是齐次线性方程组$Ax=0$的两个解，则（）

A.$\xi_1+\xi_2$不是$Ax=0$的解

B.$k_1\xi_1+k_2\xi_2$（$k_1$，$k_2$为任意常数）是$Ax=0$的解

C.只有$k_1=k_2=0$时，$k_1\xi_1+k_2\xi_2$才是$Ax=0$的解

D.$k_1\xi_1+k_2\xi_2$一定不是$Ax=0$的解

8.若线性方程组$Ax=b$的导出组$Ax=0$只有零解，则$Ax=b$（）

A.必有唯一解

B.必有无穷多解

C.必定无解

D.解的情况不确定

9.设$A$是$m×n$矩阵，$r(A)=r$，则齐次线性方程组$Ax=0$的基础解系中所含向量的个数为（）

A.$m-r$

B.$n-r$

C.$r$

D.$m+n-r$

10.已知线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1+2x_2+ax_3=2\\x_1+4x_2+a^2x_3=4\end{cases}$无解，则$a$的值为（）

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$