2026届高三一轮试题 数学 第56练 离散型随机变量及其概率分布、期望与方差 Word版含解析.docxVIP

第56讲离散型随机变量及其概率分布、期望与方差

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激活思维

1．(人A选必三P70练习T2)若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)＝____．

2．(人A选必三P66练习T1)已知随机变量X的分布列为

X

1

2

3

4

5

P

0.1

0.3

0.4

0.1

0.1

则E(X)＝____，E(3X＋2)＝___．

3．(人A选必三P70练习T1)已知随机变量X的分布列为

X

1

2

3

4

P

0.2

0.3

0.4

0.1

则D(X)＝____，σ(2X＋7)＝____．

4．(人A选必三P71练习T3)已知随机变量X的分布列为P(X＝0)＝0.2，P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝b，若E(X)＝1，则a＝___，b＝____．

5．(人A选必三P71习题T2)现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张．1张彩票可能中奖金额的均值是____．

聚焦知识

1．离散型随机变量的分布列的性质

(1)pi____0(i＝1,2，…，n)；

(2)p1＋p2＋…＋pn＝____．

2．离散型随机变量的均值与方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

X

x1

x2

…

xn

P

p1

p2

…

pn

(1)均值：

E(X)＝____＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的____．

(2)方差：

D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝____为随机变量X的方差，并称eq\r(,D?X?)为随机变量X的____，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的____．

3．均值与方差的性质

(1)E(X1＋X2)＝____；

(2)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝____；

(3)E(aX＋b)＝____(a，b为常数)；

(4)D(aX＋b)＝____(a，b为常数)；

(5)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2．

研题型能力养成

举题说法

离散型随机变量的分布列的性质

例1(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为

X

0

1

P

9a2－a

3－8a

则常数a的值为()

A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)

C．eq\f(1,3)或eq\f(2,3) D．－eq\f(1,3)或－eq\f(2,3)

(2)设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：

ξ

－1

0

1

2

3

P

eq\f(1,10)

eq\f(1,5)

eq\f(1,10)

eq\f(1,5)

eq\f(2,5)

则下列各式正确的是()

A．P(ξ＜3)＝eq\f(2,5) B．P(ξ＞1)＝eq\f(4,5)

C．P(2＜ξ＜4)＝eq\f(2,5) D．P(ξ＜0.5)＝0

离散型随机变量分布列的性质的应用

(1)利用“概率之和为1”求相关参数．

(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．

(3)可根据性质判断所得分布列结果是否正确．

变式1(1)已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝eq\f(a,n?n＋1?)(n＝1,2,3，…，10)，则实数a＝____．

(2)设随机变量X的分布列为

X

1

2

3

4

P

eq\f(1,3)

m

eq\f(1,4)

eq\f(1,6)

则P(|X－3|＝1)＝____．

离散型随机变量的分布列及数字特征

视角1求离散型随机变量的分布列及数字特征

例2－1(2024·郑州、周口二模)荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟，即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型，荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”．有甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛，其中每局只有两人比赛，每局比赛必分胜负，本局比赛结束后，负的一方下场．第1局由甲、乙比赛，接下来丙上场进行第2局比赛，来替换负的那个人，每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛．设各局中双方获胜的概率均为eq\f(1,2)，各局比赛的结果相互独立．

(1)求前3局比赛甲都取胜的概率；

(2)用X表示前3局比赛中乙获胜的次数，求X的分布列和数学期望及方差．

求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤：

(1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值；

(2)求ξ取每个值的概率；

(3)写出ξ的分布列；

(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ)．

视角2期望方差的性质及应用

例2－2(1)(多选)已知随机变量ξ的分布