2026届高三一轮试题 数学 第52练 计数原理 Word版含解析.docxVIP

第十章计数原理、概率及其分布

第52讲计数原理

链教材夯基固本

激活思维

1．(人A选必三P5练习T1(1))一项工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是____．

2．(人A选必三P5练习T1(2))从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同路线的条数是____．

3．(人A选必三P25练习T3(2))有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩．如果物理和化学恰有1门被选，那么共有____种不同的选法．

4．(人A选必三P11练习T1)乘积(a1＋a2＋a3)·(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后共有____项．

5．(人A选必三P26习题T9)学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序．除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有___种不同的排法．

聚焦知识

1．两个计数原理的区别与联系

分类加法计数原理

分步乘法计数原理

相同点

用来计算完成一件事的方法种数

不同点

分类、相加

分步、相乘

每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事

每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)

注意点

类类独立，不重不漏

步步相依，缺一不可

2．排列与组合的概念

名称

定义

排列

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素

按照____排成一列

组合

作为一组

3．排列数与组合数

(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____的个数，用符号____表示．

(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有____的个数，用符号____表示．

4．排列数、组合数的公式及性质

公式

(1)Aeq\o\al(m,n)＝____＝eq\f(n！,(n－m)！)(n，m∈N*，且m≤n)．

(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)＝eq\f(n！,m！(n－m)！)(n，m∈N*，且m≤n)．特别地，Ceq\o\al(0,n)＝1

性质

(1)0！＝____；Aeq\o\al(n,n)＝____．

(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝____．

(3)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k-1,n－1)．

(4)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n－1)＋…＋Ceq\o\al(m,m)＝Ceq\o\al(m+1,n＋1)

研题型能力养成

举题说法

两个计数原理的应用

例1(1)(2024·揭阳二模)智慧农机是指配备先进的信息技术传感器、自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机．正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有____种不同的选择方案．

(2)如果一条直线与一个平面平行，那么称该直线与该平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是___．

思路：(1)弄清完成一件事是做什么；(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类；(3)弄清分步、分类的标准是什么；(4)利用两个计数原理求解．

变式1(1)用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方法种数为()

A．120 B．160

C．180 D．240

(2)(2024·石家庄二模)各位数字之和为4的三位正整数的个数为____．

排列与组合

视角1相邻、相间问题

例2－1(1)(2024·岳阳三模)把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲、乙安排在不相邻的两天，乙、丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法种数为()

A．96 B．60

C．48 D．36

(2)(2024·金华义乌三模)在义乌，婺剧深受民众喜爱．某次婺剧表演结束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相邻且老旦不排在最右边的不同排法种数是()

A．36 B．48

C．60 D．