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变分法期末试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列哪个方程是变分法中常见的泛函欧拉方程？（）

A.y+y=0B.y+y=0C.y=yD.y=y

【答案】A

【解析】y+y=0是变分法中常见的泛函欧拉方程，对应于泛函∫(y^2-y^2)dx的欧拉方程。

2.泛函J[y]=∫[y^2-y^2]dx的极值曲线满足的欧拉方程是？（）

A.y-y=0B.y+y=0C.y=yD.y+y=0

【答案】B

【解析】泛函J[y]=∫(y^2-y^2)dx对应的欧拉方程是y+y=0。

3.下列哪个泛函的欧拉方程是线性齐次的？（）

A.∫(y^2+y^3)dxB.∫(y^2+y^2)dxC.∫(y^3+y^2)dxD.∫(y^2+y)dx

【答案】B

【解析】泛函∫(y^2+y^2)dx的欧拉方程是y+y=0，是线性齐次的。

4.在变分法中，下列哪个是拉格朗日乘子法的应用场景？（）

A.约束优化问题B.无约束优化问题C.泛函极值问题D.常微分方程求解

【答案】A

【解析】拉格朗日乘子法主要用于处理有约束的优化问题。

5.下列哪个是变分法的基本引理的表述？（）

A.若f(x)在[a,b]上连续且恒为0，则∫[f(x)y(x)]dx=0对所有满足y(a)=y(b)的y(x)成立。

B.若f(x)在[a,b]上连续，则∫[f(x)y(x)]dx=0对所有满足y(a)=y(b)的y(x)成立。

C.若f(x)在[a,b]上连续且不恒为0，则∫[f(x)y(x)]dx=0对所有满足y(a)=y(b)的y(x)成立。

D.若f(x)在[a,b]上连续，则∫[f(x)y(x)]dx=0对所有满足y(a)=y(b)的y(x)成立。

【答案】A

【解析】变分法的基本引理表述为：若f(x)在[a,b]上连续且恒为0，则∫[f(x)y(x)]dx=0对所有满足y(a)=y(b)的y(x)成立。

6.下列哪个是欧拉-泊松方程的特例？（）

A.y+ay+by=0B.y+y=0C.y=yD.y+y=0

【答案】B

【解析】y+y=0是欧拉-泊松方程y+ay+by=0的特例。

7.下列哪个是哈密顿原理的表述？（）

A.动能积分在约束条件下的极值。

B.势能积分在约束条件下的极值。

C.哈密顿量在约束条件下的极值。

D.动能减去势能在时间积分下的极值。

【答案】D

【解析】哈密顿原理表述为：动能减去势能在时间积分下的极值。

8.下列哪个是雅可比方程的用途？（）

A.求解波动方程B.求解热传导方程C.求解拉格朗日方程D.求解哈密顿方程

【答案】D

【解析】雅可比方程用于求解哈密顿方程。

9.下列哪个是哈密顿-雅可比方程的特例？（）

A.y+ay+by=0B.y+y=0C.y=yD.y+y=0

【答案】C

【解析】y=y是哈密顿-雅可比方程的特例。

10.下列哪个是变分法中常用的方法？（）

A.数值方法B.微分方法C.变分方法D.集成方法

【答案】C

【解析】变分法中常用的方法是变分方法。

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列哪些是变分法的应用领域？（）

A.物理学B.工程学C.数学D.经济学

【答案】A、B、C

【解析】变分法的应用领域包括物理学、工程学和数学。

2.下列哪些是泛函的欧拉方程的常见形式？（）

A.y+ay+by=0B.y+y=0C.y=yD.y+y=0

【答案】A、B、C

【解析】泛函的欧拉方程常见形式包括y+ay+by=0、y+y=0和y=y。

3.下列哪些是拉格朗日乘子法的应用场景？（）

A.约束优化问题B.无约束优化问题C.泛函极值问题D.常微分方程求解

【答案】A、D

【解析】拉格朗日乘子法主要用于处理有约束的优化问题和常微分方程求解。

4.下列哪些是变分法的基本引理的应用？（）

A.证明欧拉方程B.证明哈密顿原理C.证明雅可比方程D.证明哈密顿-雅可比方程

【答案】A、B

【解析】变分法的基本引理主要用于证明欧拉方程和哈密顿原理。

5.下列哪些是哈密顿原理的应用领域？（）

A.经典力学B.量子力学C.控制理论D.工程学

【答案】A、B、C

【解析】哈密顿原理的应用领域包括经典力学、量子力学和控制理论。

三、填空题（每题4分，共20分）

1.泛函J[y]=∫[y^2-y^2]dx的欧拉方程是______。

【答案】y+y=0

2.拉格朗日乘子法主要用于解决______问题。

【答案】有约束的优化问题

3.变分法的基本引理表述为：若f(x)在[a,b]上连续且恒为0，则______。

【答案】∫[f(x)y(x)]dx=0对所有满足y(a)=y(b)的y(x)成立

4.哈密顿原理表述为______。

【答案】动能减去势能在时间积分下的极值

5.雅可比方程用于求解______。

【答案】哈密顿方程

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个负