（人教A版）必修二高一数学下学期期末复习训练解三角形专题：多三角形问题（解析版）.docxVIP

解三角形专题：多三角形问题

一、多三角形问题

多三角形问题是指将一个三角形或者一个四边形切割成若干个三角形，试题重点考察学生对正余弦定理的掌握情况和转化与划归能力。

在解题过程中，需要学生分析三角形间的公共边、公共角、关系角（补角或余角）等图形特征，利用方程的思想，利用正余弦定理与三角函数公式结合，才能得到问题的解决。

二、求解多个三角形问题解题思路：

1、求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型

2、第一步：把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中；

第二步：在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形；

第三步：寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件；

第四步：结合三角恒等变换公式进行化简。

【注意】做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，

如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，

要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．

题型一四边形分割的多三角形问题

【例1】如图，在平面四边形中，，，．

（1）若，求．

（2）若，求．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由已知，

所以；

（2）设，则，，，

由正弦定理得，

，，

，是锐角，，故解得，

由正弦定理，所以．

【变式1-1】如图，在四边形中，，，，，，求：

（1）的长度；

（2）的长度.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）在中，由余弦定理可得：

，则.

（2）在中，，

，

由正弦定理可得：，即.

【变式1-2】如图，在四边形中，，，．

（1）求；

（2）若，，求的周长．

【答案】（1）；（2）24

【解析】（1）在中，，∴

∵，∴

又∵为钝角，∴为锐角，∴

（2）在中，

∴∴解得(负根舍去)

在中，，∴

∴又，

整理得，，∴

∴∴，∴的周长为24.

【变式1-3】已知四边形中，，，，，．

（1）求；（2）求．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）在中，由正弦定理可知，

即，解得.

（2）由，故，

在中，由余弦定理得，

即，所以.

【变式1-4】如图，在平面四边形ABCD中，.

（1）若，求线段AC的长：

（2）求线段AC长的最大值．

【答案】（1）；（2）6.

【解析】（1）在中，，，

由余弦定理得：，即，解得，

在中，，由余弦定理得：，

所以.

（2）设，

在中，由余弦定理得：，

由正弦定理得：，，

在中，由余弦定理得：

，

当且仅当，即时取“=”，此时，

所以当时，线段AC长取最大值6.

【变式1-5】如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.

（1）求AC；

（2）求.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）因为的面积为，所以.

又因为，，所以.

由余弦定理得，，

，所以.

（2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.

又，由正弦定理可得，，

故.

因为，所以，所以.

题型二三角形分割的多三角形问题

【例2】已知中，D是边上一点，，，.

（1）求的长;

（2）若，求的面积.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由已知，则在中，，

即，;

（2）中，，，为等腰直角三角形，

故的面积为.

【变式2-1】如图，在中，，点D在BC边上，.

（1）求；

（2）求BD，AC的长．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1），；

（2）由正弦定理得，，

故，，

故，故.

【变式2-2】如图，在中，，，点在线段上．

（1）若，求的长；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）∵，则为锐角，∴，

，则，在中，由正弦定理得，

，解得．

（2）∵，故，，

由余弦定理可得：，

在中，由正弦定理可得，故，

在中，由正弦定理可得，故，

∵，∴

【变式2-3】在中，角所对的边分别为，且.

（1）求角的值；

（2）若，过作的垂线与的延长线交于点，求的面积.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由正弦定理得，所以.

因为，所以.又，故.

（2）在中，，即，

因，解得，又在中，，

从而，故.

而，所以.

【变式2-4】的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

（1）求角B的大小；

（2）若，D为BC边上一点，，求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）因为，，

由正弦定理得，，

化简得，

又因为，，所以即，

因为，所以.

（2）因为，，所以，

在中由余弦定理得，所以.

由正弦定理得,.所以.

【变式2-5】在中，.

（1）求；

（2）D在边BC上，，，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题设，

所以，又，故，

所以，故.

（2），

所以，

则，故，

所以面积，当且仅当时等号成立，

故面积的最大值为.