（人教A版）必修二高一数学下学期期末复习训练解三角形专题：三角形中的最值范围问题（原卷版）.docxVIP

解三角形专题：三角形中的最值范围问题

一、求最值范围问题的预备知识：

1、正弦定理：asinA=bsinB=

正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。

当关于边，或是角的正弦值具备齐次的特征，则可以直接进行边化角或角化边，否则不行。

2、余弦定理：a

3、三角形的面积公式：

（1）S=12a?h（a

（2）S=1

4、三角形内角和定理：A+B+C=π

（1）正余弦关系式：sinA=

cosA=cos

（2）在已知一角的情况下，可用另外一个角表示第三个角，达到消元的目的。

5、两角和与差的正、余弦公式：

sinA±B

cosA±B

6、降幂公式：

sin2A=1?cos2A

7、辅助角公式：asinA+bsinA=

8、利用均值不等式求函数的最大值和最小值

二、三角形中的最值范围问题处理方法

法一：利用基本不等式求最值-化角为边

余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。

法二：转为三角函数求最值-化边为角

如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。

三、边化角与角化边的变换原则

在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

题型一求角度或三角值的最值范围

【例1】设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（）

A．B．C．D．

【变式1-1】在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

【变式1-2】已知中，角、、所对应的边分别为、、，且，若的面积为，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

【变式1-3】在锐角三角形中，角??的对边分别为??，且满足，则的取值范围为___________.

【变式1-4】△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．

（1）若，且，求△ABC的面积；

（2）求的最大值．

【变式1-5】在锐角中，内角的对边分别为，且满足.

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围.

【变式1-6】已知的内角，，的对边分别为，，，且.

（1）求；

（2）若为锐角三角形，求的取值范围.

题型二求边长或周长的最值范围

【例2】如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，P是的中点，连接PM．若，则线段PM的最大值为（）

A．2.5B．C．3D．4

【变式2-1】在中，，，以为边作等腰直角三角形（为直角顶点，、两点在直线的两侧）.当变化时，线段长的最大值为（）

A．B．C．D．

【变式2-2】在锐角三角形中，a，b，c分别是内角A，B，C的对应边，设A＝2C，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【变式2-3】在锐角中，分别是角所对的边，且.

（1）求角；

（2）若，求的取值范围.

【变式2-4】已知中，角所对的边分别是，向量，，且.

（1）求的值；

（2）若，求周长的取值范围.

题型三求面积的最值范围

【例3】在中，内角的对边分别是，.

（1）求角的大小；

（2）若点满足，且，求面积的最小值.

【变式3-1】在四边形中，，，，设．

（1）当时，求线段的长度；

（2）求面积的最大值．

【变式3-2】在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知的外接圆半径，且．

（1）求B和b的值；

（2）求面积的最大值．

【变式3-3】已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．

（1）求角B；

（2）求面积的取值范围．

【变式3-4】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

（1）求A；

（2）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.