（人教A版）必修二高一数学下学期第六章：平面向量及其应用 重点题型复习（解析版）.docxVIP

第六章：平面向量及其应用重点题型复习

题型一平面向量的概念理解

【例1】给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量；

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；

③（为实数），则必为零；

④为实数，若，则与共线；

⑤向量的大小与方向有关．

其中正确的命题的个数为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】对于①，两个向量具有公共终点，但两向量的起点和终点可能不共线，

则两向量不是平行向量，①错误；

对于②，向量有大小和方向两个维度，无法比较大小；但向量模长仅有大小一个维度，

可以比较大小，②正确；

对于③，当时，可以为任意实数，③错误；

对于④，当时，，此时可以不共线，④错误；

对于⑤，向量的大小即向量的模长，与方向无关，⑤错误.故选：A.

【变式1-1】下列说法正确的是（）

A．若，则

B．若，则存在唯一实数使得

C．若，，则

D．与非零向量共线的单位向量为

【答案】D

【解析】若，则或，所以选项A错误；

若，此时不存在，选项B错误；

若，由，，不一定得到，选项C不正确；

由向量为非零向量，根据单位向量的定义，选项D正确.故选：D.

【变式1-2】设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（）

A．B．或C．D．

【答案】D

【解析】两个向量模相等，但是方向也可能不同，所以选项AB不正确；题中没有明确向量模的大小关系，所以选项C不正确；因为分别是的单位向量，所以，故选：D

【变式1-3】如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（）

A．与B．与C．与D．与

【答案】C

【解析】由，可得四边形ABCD为平行四边形.

选项A：与互为相反向量，判断错误；

选项B：与互为相反向量，判断错误；

选项C：与满足向量相等的定义，判断正确；

选项D：与方向不同不满足向量相等的定义，判断错误.故选：C

【变式1-4】如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（）

A．6个B．7个C．8个D．9个

【答案】D

【解析】图中与共线的向量有：，共9个，故选：D.

题型二平面向量的共线定理

【例2】设，是不共线向量，与共线，则实数为__________．

【答案】

【解析】因为，是不共线向量，与共线，所以存在实数使得，

所以，解得：.

【变式2-1】设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相反，则实数k=___.

【答案】

【解析】因为向量与的方向相反，则存在负实数，使得，

即，而，不共线，因此，解得，所以.

【变式2-2】两个非零向量，平行的充要条件是（）

A．B．C．D．存在非零实数k，使

【答案】D

【解析】表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，

两个非零向量，平行的充要条件是或，A选项错误；

非零向量，可能有一个为0，所以，平行不能得到，B选项错误；

两个非零向量，平行，夹角可能是也可能是，所以或，C选项错误；

若两个非零向量，平行，则存在非零实数k，使，反之，两个非零向量，，若存在非零实数k，使，则，平行，D选项正确.故选：D

【变式2-3】已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】对于A，假设共线，则存在，使得，

因为不共线，所以没有任何一个能使该等式成立，

即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；

对于B，假设共线，则存在，使得，

即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，

即假设不成立，也即不共线，则能作为基底；

对于C，因为，所以两向量共线，不能作为一组基底，C错误；

对于D，假设共线，则存在，

使得，即无解，所以没有任何一个能使该等式成立，

即假设不成立，也即不共线，则能作为基底，故选:C.

【变式2-4】设两个非零向量与不共线．

（1）若，，求证三点共线．

（2）试确定实数，使和共线．

【答案】（1）证明见解析；（2）或.

【解析】（1）因为，，，

所以所以，共线，

又因为它们有公共点，所以三点共线；

（2）因为和共线，所以存在实数，使，

所以，即.

又，是两个不共线的非零向量，所以所以，所以或.

【变式2-5】如图，在中，，，点是的中点，点在上，且，求证：、、三点共线.

【解析】证明：设，，

由已知点是的中点，点在上，且，，

，

、、三点共线.