62　第十章　思维进阶课十三　带电粒子在磁场中运动的临界、极值和多解问题.docxVIP

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思维进阶课十三带电粒子在磁场中运动的临界、极值和多解问题

[学习目标]1．会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题。

2．会用平移圆法、旋转圆法、放缩圆法分析临界状态问题。

带电粒子在磁场中运动的多解问题

1．常见多解类型

多解分类

多解原因

示意图

带电粒子电性不确定

带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同

磁场方向不确定

题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时由于磁感应强度方向不确定带来多解

临界状态不唯一或速度大小不确定

带电粒子在穿过有界磁场时，可能直接穿过去，也可能从入射界面反向射出，于是形成多解

运动的往复性或周期性

带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时，运动往往具有往复性，因而形成多解

2．求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧

(1)分析题目特点，确定题目多解性形成的原因。

(2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。

(3)若为周期性的多解问题，寻找通项式；若是出现几种周期性解的可能性，注意每种解出现的条件。

往复性或周期性形成多解

[典例1](多选)(2022·湖北卷)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为()

A．13kBL，0° B．12kBL

C．kBL，60° D．2kBL，60°

BC[若离子最后经过下部分磁场从P点射出，如图1，则θ＝60°，R＝Ln(n＝1，3，5，…)，又qvB＝mv2R，可得v＝qBRm＝kBLn(n＝1，3，5，…)；若离子最后经过上部分磁场从P点射出，如图2，则θ＝0°，R＝Ln(n＝2，4，6，…)，又qvB＝mv2R，可得v＝qBRm＝kBLn(n＝2，4，6，…

]

带电粒子电性不确定形成多解

[典例2](多选)如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为()

A．πm3

C．4πm

AD[设粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝mv2R，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝2πRv，联立可得T＝2πmqB。若带电粒子所带电荷为正，则其在磁场中的轨迹为图中①所示，轨迹对应的圆心角为300°，在磁场中运动的时间为t1＝300°360°·T＝5πm3qB；若带电粒子所带电荷为负，则其在磁场中的轨迹为图中②所示，轨迹对应的圆心角为60°，在磁场中运动的时间为t

临界状态不确定形成多解

[典例3](多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是()

A．使粒子的速度vBql

B．使粒子的速度v5

C．使粒子的速度vBql

D．使粒子的速度Bql4mv

AB[如图所示，若带电粒子刚好打在极板右边缘，有r12＝r1-l22＋l2，又因为qv1B＝mv12r1，解得v1＝5Bql4m；若粒子刚好打在极板左边缘，有r2＝l4，又qv2B＝mv22r2，解得v2＝

磁场方向不确定形成多解

[典例4](多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为qm，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(

A．B＞mv3

B．B＞mvqs

C．B＞mvqs

D．B＞3mv

BD[当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知sin30°＝r1s+r1，可得r1＝s，由r1＝mvqB1可得B1＝mvqs；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹即圆弧与OP相切于N点，如图乙所示，设轨迹半径为r2，由几何关系可知s＝r2sin30°＋r2，可得r2＝s3，又r2＝mvq

]

“动态圆”模型的应用

“平移圆”模型

模型界定

将半径为R＝mv0qB的圆进行平移，从而探索出粒子运动的临界条件，即为“

模型条件

粒子