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八年级数学上册平方差公式和完全平方公式

同学们，当我们迈入更广阔的代数世界，多项式的乘法运算变得日益重要。在众多的运算形式中，有两类特殊的乘法运算因其广泛的应用性和简洁的结果形式，被总结为重要的数学公式，它们就是我们今天要深入探讨的平方差公式和完全平方公式。这两个公式不仅能帮助我们快速解决特定类型的计算问题，更是后续学习因式分解、分式运算乃至更高级代数内容的基础。掌握它们，就如同掌握了打开代数运算便捷之门的两把钥匙。

一、平方差公式：两数和与差的乘积

我们先从一些具体的多项式乘法运算开始，看看能否发现什么规律。

计算下列各题：

1.`(x+2)(x-2)`

2.`(3a+b)(3a-b)`

按照多项式乘法法则展开：

1.`(x+2)(x-2)=x·x-x·2+2·x-2·2=x2-2x+2x-4=x2-4`

2.`(3a+b)(3a-b)=3a·3a-3a·b+b·3a-b·b=9a2-3ab+3ab-b2=9a2-b2`

仔细观察这两个算式及其结果，我们发现了一个有趣的现象：两个数的和与这两个数的差的乘积，结果等于这两个数的平方差。

1.1平方差公式的推导与表达

一般地，对于任意的两个数`a`和`b`，我们有：

`(a+b)(a-b)=a2-b2`

这个公式就叫做平方差公式。我们可以用多项式乘法法则严格证明它：

`(a+b)(a-b)=a·a+a·(-b)+b·a+b·(-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2`

公式中的`a`和`b`，可以代表具体的数字，也可以代表一个单项式、甚至一个多项式。理解这一点，是我们灵活运用公式的关键。

1.2平方差公式的结构特征

要准确、熟练地运用平方差公式，必须深刻理解其结构特征：

*公式左边是两个二项式的乘积，这两个二项式中，有一项完全相同（公式中的`a`），另一项互为相反数（公式中的`b`和`-b`）。

*公式右边是这两个“相同项”的平方减去“互为相反数的项”的平方所得的差。

可以简单概括为：相同项平方，相反项平方，中间是减号。

1.3平方差公式的几何意义

有时候，借助几何图形可以帮助我们更好地理解代数公式的含义。考虑一个边长为`a`的大正方形，从中剪去一个边长为`b`的小正方形（`ba`），剩余部分的面积是`a2-b2`。

如果我们将剩余部分进行适当的拼接，可以得到一个长为`(a+b)`、宽为`(a-b)`的长方形。这个长方形的面积就是`(a+b)(a-b)`。由于拼接前后的面积相等，因此`(a+b)(a-b)=a2-b2`。这就是平方差公式的几何解释。

1.4平方差公式的应用举例

例1：计算`(2x+3)(2x-3)`

分析：这里，相同项是`2x`，相反项是`3`和`-3`。

解：`(2x+3)(2x-3)=(2x)2-32=4x2-9`

例2：计算`(5a2-b)(5a2+b)`

分析：相同项是`5a2`，相反项是`-b`和`b`。

解：`(5a2-b)(5a2+b)=(5a2)2-b2=25a?-b2`

例3：利用平方差公式进行简便计算`102×98`

分析：`102`可以写成`(100+2)`，`98`可以写成`(100-2)`，符合平方差公式的形式。

解：`102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=____-4=9996`

1.5运用平方差公式的温馨提示

*在运用公式时，一定要先判断相乘的两个二项式是否符合“一项相同，一项相反”的特征，避免滥用公式。

*要注意区分“相同项”和“相反项”，不要混淆。

*公式中的`a`和`b`可以是具体的数，也可以是单项式、多项式。当它们是多项式时，要将其看作一个整体。例如`(x+y+z)(x+y-z)`，可以将`(x+y)`看作一个整体`a`，`z`看作`b`，从而运用平方差公式。

二、完全平方公式：两数和（或差）的平方

我们再来计算几个特殊的多项式乘法：

1.`(a+b)2=(a+b)(a+b)`

2.`(a-b)2=(a-b)(a-b)`

同样按照多项式乘法法则展开：

1.`(a+b)2=a·a+a·b+b·a+b·b=a2+2ab+b2`

2.`(