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2025年高中数学全部知识点大(推荐)

集合与常用逻辑用语

1.集合的含义与表示

子集：如果集合\(A\)的任意一个元素都是集合\(B\)的元素，那么集合\(A\)称为集合\(B\)的子集，记作\(A?B\)。例如，设\(A=\{1,2\}\)，\(B=\{1,2,3\}\)，则\(A?B\)。

真子集：如果\(A?B\)，且存在元素\(x∈B\)，但\(x?A\)，那么集合\(A\)是集合\(B\)的真子集，记作\(A?B\)。比如\(\{1,2\}?\{1,2,3\}\)。

相等：若\(A?B\)且\(B?A\)，则\(A=B\)。

3.集合的基本运算

交集：由所有属于集合\(A\)且属于集合\(B\)的元素所组成的集合，叫做集合\(A\)与\(B\)的交集，记作\(A∩B\)。例如，\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A∩B=\{2,3\}\)。

并集：由所有属于集合\(A\)或属于集合\(B\)的元素所组成的集合，叫做集合\(A\)与\(B\)的并集，记作\(A∪B\)。对于上述\(A\)和\(B\)，\(A∪B=\{1,2,3,4\}\)。

补集：设\(U\)是一个全集，\(A\)是\(U\)的一个子集，由\(U\)中所有不属于\(A\)的元素组成的集合，叫做子集\(A\)在\(U\)中的补集，记作\(?_UA\)。例如，\(U=\{1,2,3,4,5\}\)，\(A=\{1,2\}\)，则\(?_UA=\{3,4,5\}\)。

4.常用逻辑用语

命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。例如，“\(2+3=5\)”是真命题，“\(23\)”是假命题。

充分条件与必要条件：如果\(p?q\)，那么\(p\)是\(q\)的充分条件，\(q\)是\(p\)的必要条件。若\(p?q\)，则\(p\)是\(q\)的充要条件。比如，“\(x=1\)”是“\(x^2=1\)”的充分不必要条件，因为由\(x=1\)能推出\(x^2=1\)，但由\(x^2=1\)不能推出\(x\)一定等于\(1\)。

全称量词与存在量词：全称量词如“所有”“任意”等，含有全称量词的命题叫全称命题。存在量词如“存在”“至少有一个”等，含有存在量词的命题叫特称命题。例如，全称命题“所有的正方形都是矩形”，特称命题“存在一个实数\(x\)，使得\(x^2+1=0\)”。

函数概念与基本初等函数Ⅰ

1.函数的概念

设\(A\)，\(B\)是非空的实数集，如果对于集合\(A\)中的任意一个数\(x\)，按照某种确定的对应关系\(f\)，在集合\(B\)中都有唯一确定的数\(y\)和它对应，那么就称\(f\colonA→B\)为从集合\(A\)到集合\(B\)的一个函数，记作\(y=f(x)\)，\(x∈A\)。例如，\(y=2x+1\)，\(x∈R\)，对于任意一个实数\(x\)，都有唯一的\(y=2x+1\)与之对应。

2.函数的定义域、值域和解析式

定义域：使函数有意义的自变量的取值范围。例如，函数\(y=\frac{1}{x-1}\)的定义域是\(\{x|x≠1\}\)。

值域：函数值的集合。对于\(y=x^2\)，\(x∈R\)，其值域是\(\{y|y≥0\}\)。

解析式：表示函数的式子。求解析式的方法有换元法、待定系数法等。比如已知\(f(x+1)=x^2+2x\)，令\(t=x+1\)，则\(x=t-1\)，所以\(f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-1\)，即\(f(x)=x^2-1\)。

3.函数的单调性与最值

单调性：设函数\(f(x)\)的定义域为\(I\)，如果对于定义域\(I\)内的某个区间\(D\)上的任意两个自变量的值\(x_1\)，\(x_2\)，当\(x_1x_2\)时，都有\(f(x_1)f(x_2)\)，那么就说函数\(f(x)\)在区间\(D\)上是增函数；当\(x_1x_2\)时，都有\(f(x_1)f(x_2)\)，那么就说函数\(f(x)\)在区间\(D\)上是减函数。例如，\(y=x^2\)在\((-∞,0)\)上是减函数，在\((0,+∞)\)上是增函数。

最值：函数在定义域内的最大值和最小值。求最值的方法有利用单调性、导数等。

4.函数的奇偶性

偶函数：如果对于函数\(f(x)\)的定义域内任意一个\(x\)，都有\(f(-x)=f(x)\)，那么函数\(f(x)\)就叫做偶函数。例如，\(f(x)=x^2\)，\(f(-x)=(-x)^