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(2025)高中数学基本知识点整理

集合与常用逻辑用语

集合

1.集合的含义与表示

集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。集合中的对象称为元素。若\(a\)是集合\(A\)的元素，记作\(a\inA\)；若\(a\)不是集合\(A\)的元素，记作\(a\notinA\)。

子集：若集合\(A\)中任意一个元素都是集合\(B\)中的元素，则称集合\(A\)是集合\(B\)的子集，记作\(A\subseteqB\)。若\(A\subseteqB\)且\(B\subseteqA\)，则\(A=B\)。

真子集：若\(A\subseteqB\)，且存在元素\(x\inB\)且\(x\notinA\)，则称集合\(A\)是集合\(B\)的真子集，记作\(A\subsetneqqB\)。

空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作\(\varnothing\)。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3.集合的基本运算

交集：由所有属于集合\(A\)且属于集合\(B\)的元素所组成的集合，叫做集合\(A\)与\(B\)的交集，记作\(A\capB\)，即\(A\capB=\{x|x\inA且x\inB\}\)。

并集：由所有属于集合\(A\)或属于集合\(B\)的元素所组成的集合，叫做集合\(A\)与\(B\)的并集，记作\(A\cupB\)，即\(A\cupB=\{x|x\inA或x\inB\}\)。

补集：设\(U\)是一个集合，\(A\)是\(U\)的一个子集，由\(U\)中所有不属于\(A\)的元素组成的集合，叫做子集\(A\)在\(U\)中的补集，记作\(\complement_UA\)，即\(\complement_UA=\{x|x\inU且x\notinA\}\)。

常用逻辑用语

1.命题及其关系

命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

四种命题：原命题：若\(p\)，则\(q\)；逆命题：若\(q\)，则\(p\)；否命题：若\(\negp\)，则\(\negq\)；逆否命题：若\(\negq\)，则\(\negp\)。原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。

2.充分条件与必要条件

若\(p\Rightarrowq\)，则\(p\)是\(q\)的充分条件，\(q\)是\(p\)的必要条件；若\(p\Leftrightarrowq\)，则\(p\)是\(q\)的充要条件。

3.简单的逻辑联结词

“且”：用联结词“且”把\(p\)与\(q\)联结起来称为一个新命题，记作\(p\wedgeq\)，当且仅当\(p\)，\(q\)都是真命题时，\(p\wedgeq\)才是真命题。

“或”：用联结词“或”把\(p\)与\(q\)联结起来称为一个新命题，记作\(p\veeq\)，只要\(p\)，\(q\)中有一个是真命题时，\(p\veeq\)就是真命题。

“非”：对一个命题\(p\)全盘否定，就得到一个新命题，记作\(\negp\)，若\(p\)是真命题，则\(\negp\)是假命题；若\(p\)是假命题，则\(\negp\)是真命题。

4.全称量词与存在量词

全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“\(\forall\)”表示。含有全称量词的命题叫做全称命题，全称命题\(\forallx\inM,p(x)\)的否定是\(\existsx\inM,\negp(x)\)。

存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“\(\exists\)”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题，特称命题\(\existsx\inM,p(x)\)的否定是\(\forallx\inM,\negp(x)\)。

函数概念与基本初等函数

函数的概念

1.函数的定义

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。

图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。

列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

3.函数的定义域、值域和解析式

求函数定义域时，要考虑分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数的真数大于零等情况。求函数值域的方法有观察法、配方法、换元法、判别式法等。求函数解析式的方法有待定系数法、换元法、方程组法等。

4.函数的单调性

设函数\(y=f(x)\)的定义域为\(I\)，如果对于定义域\(I\)内的某个区间\(D\)上的任意两个自变量的值\(x_1\)，\(x_2\)，当\(x_1\ltx_2\)时，都有\(f(x_1)\ltf(x_2)\)，那么就说函数\(y=f(x)\)在区间\(D\)上