专题13 几何图形的旋转综合的六类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上册（原卷版）.docx

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专题13几何图形的旋转综合的六类综合题型

目录

TOC\o1-2\h\u典例详解

类型一、线段绕某点旋转综合问题

类型二、等腰直角三角形绕点旋转综合问题

类型三、等边三角形绕点旋转综合问题

类型四、平行四边形的旋转综合问题

类型五、矩形的旋转综合问题

类型六、正方形的旋转综合问题

压轴专练

类型一、线段绕某点旋转综合问题

知识点：1.线段旋转的基本性质：旋转前后线段长度不变，对应端点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，线段所在直线的夹角与旋转角相关。2.三角形及圆的关联知识：旋转形成的等腰三角形（对应点与中心构成）、定长线段旋转的轨迹为圆（以旋转中心为圆心）。

解题技巧：1.定位端点对应点：通过作等长线段、构造旋转角，确定线段两端点的对应位置，利用全等或相似转化关系。2.动态问题转化：涉及线段旋转的动态变化时，以旋转中心为定点，分析端点轨迹（圆），结合几何图形性质（如直径所对圆周角为直角）求解极值或位置关系。

例1．在等边三角形中，点D为边上的一点，连接．

(1)如图1，若，，求的长．

(2)如图2将线段绕点A顺时针旋转到，连接交于点F．求证：；

【变式1-1】在等腰直角三角形中，，过点作，为直线上一动点，将射线绕点逆时针旋转90°，交直线于点，连接．

(1)如图①，当点在线段上时，线段，，之间的数量关系为________；

(2)当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，并选择一种情况给予证明．

类型二、等腰直角三角形绕点旋转综合问题

知识点：1.等腰直角三角形性质与旋转性质的结合：两直角边相等、直角为90°，旋转后对应边、角不变，形成新的等腰直角三角形或全等三角形。2.特殊角度与线段关系：旋转角常为90°或45°，可推导线段垂直、相等关系，如旋转后对应直角边垂直且相等。

解题技巧：1.锁定旋转核心：以等腰直角顶点或斜边中点为旋转中心，标记对应顶点，利用“边等、角等”构造全等（如SAS）。2.转化线段关系：遇复杂图形，通过旋转将分散的边、角集中到直角三角形中，利用勾股定理或线段垂直关系求解。

例2．已知和是两个全等的等腰直角三角形，．

(1)如图1，和分别与边交于点，过点作，且使，连接，求证：

①；

②；

(2)如图2，与边交于点，与的延长线交于点，请探究和之间的数量关系，并说明理由．

【变式2-1】已知：和都是等腰直角三角形，．

(1)如图①E在上，点D在上时，线段与AD的数量关系是______，位置关系是______；

(2)把绕点C旋转到如图②的位置，连接，（1）中的结论还成立吗？说明理由；

(3)在绕点C在平面内旋转过程中，若，，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是______．

类型三、等边三角形绕点旋转综合问题

知识点：1.等边三角形性质与旋转的融合：三边相等、三角均为60°，旋转后对应边、角不变，易形成新等边三角形或全等三角形。2.特殊旋转角的作用：旋转角常为60°或120°，可推导线段相等、夹角为60°或120°，如旋转后对应边夹角等于旋转角。

解题技巧：1.聚焦旋转中心：以顶点或中心为旋转中心，标记对应顶点，利用“边等、角60°”构造全等（如SAS）或相似。2.转化分散条件：通过旋转将分散线段集中，利用60°角构造等边三角形，或结合30°-60°直角三角形边角关系求解。

例3．（1）如图1，已知点B、A、D在同一条直线上，和都是等边三角形，连结、交于点O，且分别交、于点F、G．求证：；

（2）若将图1中的绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上，和都是等边三角形，的度数变化吗？若不变，请求出的度数；若变化，请说明理由；

（3）如图3，在中，，，，以为边向外作等边，直接写出的长．

【变式3-1】（1）问题发现

如图1，和都是等边三角形，点B，C，D在同一直线上，连接，直线与相交于点F．填空：

①线段与之间的数量关系为_________；

②的度数为_________．

（2）拓展探究

当绕点C逆时针旋转到图2的位置时，（1）中的两个结论是否还成立？请根据图2的情形给出证明．

（3）问题解决

已知，，若绕点C逆时针旋一周，当点E位于线段的垂直平分线上时，请直接写出的面积．

类型四、平行四边形的旋转综合问题

知识点：1.平行四边形性质与旋转的结合：对边平行且相等、对角线互相平分，旋转后对应边保持平行（或夹角等于旋转角），对应角相等，易形成全等图形。2.旋转产生的特殊关系：以对角线交点为中心旋转180°可与原图形重合，旋转其他角度时，对应顶点连线被旋转中心平分，易推导线段平行或相等关系。

解题技巧：1.抓住对称中心：优先考