专题14 垂径定理的四类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上册（原卷版）.docx

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专题14垂径定理的四类综合题型

目录

TOC\o1-2\h\u典例详解

类型一、利用垂径定理求线段长问题

类型二、利用垂径定理求平行弦问题

类型三、利用垂径定理求同心圆问题

类型四、利用垂径定理解实际应用问题

压轴专练

类型一、利用垂径定理求线段长问题

知识点总结

1.核心定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧，可拓展为“过圆心、垂直弦、平分弦（非直径）、平分优弧、平分劣弧”知二推三。

2.关键公式：结合勾股定理，设圆半径为r、弦心距为d、弦长为l，则r2=d2+(l2)2

解题技巧

1.构造直角三角形：作圆心到弦的垂线，连接圆心与弦端点，将半径、弦心距、半弦长转化为直角三角形三边。

2.方程思想：设未知量（如半径、弦心距），根据定理和勾股定理列方程，代入已知数据求解，避免漏用半弦长条件。

例1．（2025·江苏泰州·三模）如图，为的直径，为的弦，于，若，，则．

【变式1-1】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）如图，已知为的直径，为的弦，且．若，，则的长是．

【变式1-2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知的直径，是的弦，，且，垂足为M，则的长为．

【变式1-3】（24-25九年级上·广东·期末）如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，则的直径长为．

类型二、利用垂径定理求平行弦问题

知识点总结

1.核心定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对弧，平行弦可共用同一条与它们垂直的直径（或弦心距），该直径平分两条平行弦。

2.关键关系：设圆半径r、弦心距分别为d1、d2，弦长l1、l2，则r2=d2+(l12)2和r2=d2+(l2

解题技巧

1.定位弦心距：先作垂直于平行弦的直径，明确两弦与圆心的位置关系（同侧或异侧），确定弦心距是相加还是相减。

2.列方程求解：利用半径相等建立等式，代入已知弦长或弦心距，设未知量求解，避免忽略位置对弦心距关系的影响。

例2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（?????）．

A．7或17 B．7 C．7或12 D．12

【变式2-1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦、的距离为．

【变式2-2】（2024·江西宜春·模拟预测）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．则纸杯的直径为．

【变式2-3】（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，，，点为上一点，作交于点，点关于的对称点为点，以为半径作恰好经过点，并交直线于点，．

（1）点到的距离为；

（2）的值为．

类型三、利用垂径定理求同心圆问题

知识点总结

1.?核心性质：同心圆半径不同（设为R、r，Rr），若一条直线截两圆得弦AB（大圆）、CD（小圆），且直线垂直于过圆心的半径，则由垂径定理，半径平分两弦，即OA=R，OC=r，AB=2AE，CD=2CE。

2.?关键等式：结合勾股定理，得AE2=R2-OE2，CE2=r2-OE2（OE为圆心到直线的距离），可关联两弦长或距离。

解题技巧

1.?作公共弦心距：过圆心作截线的垂线（公共弦心距OE），构建含大圆半径、小圆半径、弦心距的两个直角三角形。

2.?用半径差列算：利用两直角三角形共弦心距的特点，通过勾股定理表示弦长一半，再根据所求（如弦长差、距离）设未知量求解，避免混淆两圆半径。

例3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.

A．6 B． C． D．

【变式3-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是．

【变式3-2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点．

(1)求证：；

(2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值．

【变式3-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．

(1)求证：．

(2)若，大圆的半径，求小圆的