专题08 二次函数中线段、周长、面积最值问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上册（解析版）.docxVIP

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专题08二次函数中线段、周长、面积最值问题的四类综合题型

目录

TOC\o1-2\h\u典例详解

类型一、二次函数中求线段最值的问题

类型二、二次函数中求线段和最值的问题

类型三、二次函数中求周长最值的问题

类型四、二次函数中求面积最值的问题

压轴专练

类型一、二次函数中求线段最值的问题

知识点：1.平面直角坐标系中线段长度计算，如平行于坐标轴的线段用坐标差的绝对值表示，一般线段用两点间距离公式。2.二次函数的最值性质：开口方向决定顶点是最大值或最小值点，可通过配方法或顶点公式求最值。

解题技巧：1.转化线段长度为二次函数表达式，如将动点坐标代入长度公式，整理成关于自变量的二次函数。2.结合函数开口方向和自变量取值范围（由动点位置限制确定），求二次函数的最值，即线段的最值。

例1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C．

(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；

(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．m为何值时线段的长度最大，并求出最大值．

【答案】(1)，

(2)当m时，PD是最大值

【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．

（1）利用待定系数法求出二次函数和直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标；

（2）设，根据P、D的坐标求出长，然后根据二次函数的性质求解即可．

【详解】（1）解：∵二次函数经过，，，

∴将三点坐标代入解析式得，

解得，

∴二次函数的解析式为，

∵直线经过A、B两点，设直线解析式为，

∴将A、B两点代入得，

解得，

∴直线解析式为，

∵点C是直线与y轴交点，

∴令，则，

∴．

（2）解：∵点P在直线上方，

∴，

由题知，，

∴，

∵，

∴当时，是最大值．

【变式】如图1，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为．

(1)求抛物线和一次函数的表达式．

(2)如图2，P为抛物线上位于上方的一点，过点P作x轴的垂线交于点C，求的最大值．

【答案】(1)，；

(2)．

【分析】此题考查了二次函数和一次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，正确求出函数表达式是关键．

（1）把分别代入抛物线和一次函数解析式，求出，，即可得到答案；

（2）设点的坐标为，则，得到，根据二次函数的性质即可得到答案．

【详解】（1）解：把代入，得：，

解得：，

∴二次函数解析式为，

把代入得：，

解得：，

∴一次函数解析式为；

（2）设点的坐标为，则，

∴，

∵，

∴当时，取得最大值，最大值为．

类型二、二次函数中求线段和最值的问题

知识点：1.两点间距离公式及平面几何中线段和的性质，如对称点到两点距离相等。2.二次函数图象上点的坐标特征，动点坐标可表示为含自变量的代数式，便于转化线段和为函数表达式。

解题技巧：1.利用对称转化，将折线和化为直线距离（如作某点关于对称轴或坐标轴的对称点，转化为两点间线段最短）。2.建立函数模型，用动点坐标表示线段和，结合二次函数最值性质（顶点或端点）求解，注意自变量取值范围对结果的限制。

例2．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？

【答案】(1)抛物线的函数表达式为

(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为．

【分析】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质．

（1）利用待定系数法求得抛物线的函数表达式，化成顶点式，即可求得顶点坐标；

（2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得．

【详解】（1）解：∵抛物线过点，，

∴，解得，

∴抛物线的函数表达式为，

（2）解：∵四边形是矩形，

∴，

∵点，在抛物线上，

∴点，关于抛物线对称轴对称，

∴由抛物线的对称性得，

，

当时，，则点的纵坐标为，

矩形的周长

，

，

当时，矩形的周长有最大值，最大值为．

【变式】已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

(1)求点A、B、C三点的坐标；

(2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积；

(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)16

(3)存在，

【分析】（1）分别令，求出点和点，点的坐标即可；

（2）先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立抛物线解析式组