专题08 二次函数中线段、周长、面积最值问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上册（原卷版）.docxVIP

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专题08二次函数中线段、周长、面积最值问题的四类综合题型

目录

TOC\o1-2\h\u典例详解

类型一、二次函数中求线段最值的问题

类型二、二次函数中求线段和最值的问题

类型三、二次函数中求周长最值的问题

类型四、二次函数中求面积最值的问题

压轴专练

类型一、二次函数中求线段最值的问题

知识点：1.平面直角坐标系中线段长度计算，如平行于坐标轴的线段用坐标差的绝对值表示，一般线段用两点间距离公式。2.二次函数的最值性质：开口方向决定顶点是最大值或最小值点，可通过配方法或顶点公式求最值。

解题技巧：1.转化线段长度为二次函数表达式，如将动点坐标代入长度公式，整理成关于自变量的二次函数。2.结合函数开口方向和自变量取值范围（由动点位置限制确定），求二次函数的最值，即线段的最值。

例1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点A的直线与该二次函数图象交于点，与y轴交于点C．

(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；

(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线上方时，过点P作轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．m为何值时线段的长度最大，并求出最大值．

【变式】如图1，抛物线与坐标轴交于O，B两点，直线与抛物线交于A，B两点，已知点B的坐标为．

(1)求抛物线和一次函数的表达式．

(2)如图2，P为抛物线上位于上方的一点，过点P作x轴的垂线交于点C，求的最大值．

类型二、二次函数中求线段和最值的问题

知识点：1.两点间距离公式及平面几何中线段和的性质，如对称点到两点距离相等。2.二次函数图象上点的坐标特征，动点坐标可表示为含自变量的代数式，便于转化线段和为函数表达式。

解题技巧：1.利用对称转化，将折线和化为直线距离（如作某点关于对称轴或坐标轴的对称点，转化为两点间线段最短）。2.建立函数模型，用动点坐标表示线段和，结合二次函数最值性质（顶点或端点）求解，注意自变量取值范围对结果的限制。

例2．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？

【变式】已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

(1)求点A、B、C三点的坐标；

(2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积；

(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

类型三、二次函数中求周长最值的问题

知识点：1.平面图形周长的构成，由多条线段长度之和组成，需明确各边与二次函数图象上点的坐标关系。2.二次函数的最值性质及坐标与线段长度的转化，如平行坐标轴线段用坐标差，一般线段用距离公式。

解题技巧：1.分解周长为已知固定线段与可变线段之和，转化为求可变线段和的最值。2.利用对称或几何模型（如两点之间线段最短）转化可变线段和，结合二次函数表达式求最值，注意动点坐标的取值范围限制。

例3．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．

(1)求点的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上找一点C，使得最小，并求出C点的坐标；

【变式】如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点为该抛物线对称轴上的一点，当最小时，求点的坐标．

类型四、二次函数中求面积最值的问题

知识点：1.平面图形面积计算公式（如三角形底乘高除以2、梯形上下底和乘高除以2），及坐标法求面积（割补法转化为规则图形）。2.二次函数动点坐标特征，可表示为含自变量的代数式，将面积转化为二次函数表达式。

解题技巧：1.用动点坐标表示图形的底和高，结合面积公式列出关于自变量的二次函数。2.确定自变量取值范围，根据二次函数开口方向，求顶点或端点处的最值，注意利用割补法简化面积计算。

例4．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点D为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，求的最大值；

【变式】如图1，已知抛物线经过三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值；

(3)如图2，若E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形的面积为S．

①求S与m的函数关系式；

②S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．

一、解答题

1．如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与