第10讲双变量不等式中点型原卷版.docxVIP

第10讲双变量不等式:中点型

一．解答题（共19小题）

1．（2021?呼和浩特二模）已知函数．

①讨论的单调性；

②设，证明：当时，；

③函数的图象与轴相交于、两点，线段中点的横坐标为，证明．

2．（2021秋?山西期末）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）如果方程有两个不相等的解，，且，证明：．

3．（2021?沙坪坝区校级开学）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，若函数的两个极值点，恰为函数的两个零点，且的取值范围是，，求实数的取值范围．

4．（2021秋?巴南区校级月考）已知函数为常数）．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，设函数的两个极值点，满足，求的最小值．

5．（2021春?瑶海区月考）已知函数，．

（1）若存在两个极值点，求实数的取值范围；

（2）若，为的两个极值点，证明：．

6．（2021?宜春模拟）已知函数．

（1）讨论的单调性：

（2）设，若函数的两个极值点，恰为函数的两个零点，且的范围是，，求实数的取值范围．

7．（2021?湖北模拟）已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．

（1）求函数的解析式，并证明：．

（2）已知，且函数与函数的图象交于，，，两点，且线段的中点为，，证明：（1）．

8．（2021?辽宁模拟）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若函数的导函数的图象与轴交于，两点，其横坐标分别为，，线段的中点的横坐标为，且，恰为函数的零点．求证．

9．（2021秋?重庆月考）已知函数；

（1）讨论的单调性；

（2）已知时，不等式恒成立；若函数的图象与轴交于，，，两点，线段中点的横坐标为，求证：．

10．（2021春?江西月考）已知函数，

（1）若函数的极小值是，求的值；

（2）设，，，是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为，，直线的斜率为．证明：．

11．（2021秋?张家口期末）已知函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）设，，，为函数图象上不同的两点，的中点为，．

求证：．

12．（2021?达州模拟）已知，是自然对数的底数）．

（1）求函数的单调区间；

（2）曲线在，、，处的切线平行，线段的中点为，，求证：．

13．（2021?达州模拟）已知，是自然对数的底数）．

（1）求函数的单调区间；

（2）曲线在，、，处的切线平行，线段的中点为，，求证：．

14．（2021秋?上杭县校级月考）已知函数，又函数两个极值点为，满足；，恰为的零点．

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）当时，求证：．

15．（2016秋?岳麓区校级月考）设函数的图象在点，处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立．

（Ⅰ）求函数的表达式；

（Ⅱ）设函数的两个极值点，恰为的零点．当时，求的最小值．

16．（2021?武清区校级模拟）已知函数，．

（Ⅰ）已知为的极值点，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）当时，若对于任意，，，都存在，，使得，证明；．

17．（2021?广陵区校级模拟）已知函数．

（1）若函数，试研究函数的极值情况；

（2）记函数在区间内的零点为，记，，若在区间内有两个不等实根，，证明：．

18．证明不等式：

（1）当，时，求证：；

（2）已知函数，设，，，，且，证明：．

19．（2016秋?中山市校级月考）已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；

（3）设，若函数存在两个零点，，且，问：函数在，处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．