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三角形中位线定理专项练习题典辑

三角形中位线定理是平面几何中的一个基本而重要的定理，它揭示了三角形两边中点连线的特殊性质。熟练掌握并灵活运用这一定理，对于解决与三角形中点、线段长度、位置关系相关的问题至关重要。本辑练习题旨在帮助读者巩固对该定理的理解，提升解题能力。

一、三角形中位线定理回顾

定理内容：三角形连接两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

几何语言表述：在△ABC中，若点D、E分别是边AB、AC的中点，则DE∥BC，且DE=1/2BC。

定理的理解要点：

1.中位线的定义：强调“连接两边中点”，区分于中线（连接一个顶点和对边中点的线段）。

2.双重属性：中位线定理包含两个核心结论——位置关系（平行于第三边）和数量关系（等于第三边的一半）。在应用时，需根据具体问题灵活选用其中一个或两个属性。

3.作用：中位线定理为我们提供了一种证明线段平行和线段倍分关系的重要途径。它常与平行线性质、全等三角形、平行四边形等知识结合使用。

二、练习题典

（一）基础巩固型

题目1：

已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=10cm，求DE的长度。并判断DE与BC的位置关系。

题目2：

在△ABC中，∠A=60°，D、E分别是AB、AC的中点。若DE=5cm，求BC的长度，并求DE与BC所夹的角的度数。

题目3：

如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点。求证：四边形ADEF是平行四边形。

题目4：

已知三角形的三边长分别为6cm、8cm、10cm，求连接各边中点所成三角形的周长。

（二）能力提升型

题目5：

在△ABC中，D是AB的中点，E是AD的中点，连接CE并延长交AB于点F（此处应为交BC于点F，原文可能笔误，按正确逻辑修改）。求证：BF=2FC。（提示：过点D作DG平行于CF交BC于点G）

题目6：

已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。（此即“中点四边形”问题，它的形状由原四边形的对角线关系决定）

题目7：

如图，在△ABC中，ACAB，D是BC的中点，E是AC上一点，且AE=AB，连接DE并延长交AB的延长线于点F。求证：BF=EC。（提示：考虑构造中位线或利用全等）

题目8：

△ABC的周长为30cm，面积为24cm2，D、E、F分别为△ABC各边中点，则△DEF的周长和面积分别是多少？

（三）综合拓展型

题目9：

如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交AC、BD于点G、H。求证：OG=OH。（提示：取AD中点P，连接PE、PF，利用中位线定理及等腰三角形性质）

题目10：

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是AC、BC的中点，连接DE。点P是线段DE上的一个动点（不与D、E重合），连接PA、PB。求△PAB面积的取值范围。

题目11：

已知△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AC上，且AD=AE，连接DE。若∠ADE=70°，求∠BAC的度数。（提示：先利用等腰三角形性质和三角形内角和求∠DAE，再结合中位线相关性质或直接计算）

题目12：

如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，求AC的长。（提示：延长BN交AC于点D，构造全等三角形，再利用中位线定理）

三、解题思路与提示

（以下为部分典型题目的简要思路提示，完整详细解答需读者自行完成，以达到练习效果）

*题目3思路：利用三角形中位线定理，可得DE平行且等于BC的一半，AF平行且等于BC的一半（或AD平行EF，AF平行DE），从而根据平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）得证。

*题目6思路：连接AC（或BD），利用三角形中位线定理，证明EF平行且等于HG，EH平行且等于FG。

*题目8思路：中点三角形的周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。这是中位线定理在面积上的延伸应用。

*题目9思路：取AD中点P，连接PE、PF。则PE平行且等于BD的一半，PF平行且等于AC的一半。因为AC=BD，所以PE=PF，∠PEF=∠PFE。再由平行线的性质可证得∠OGH=∠OHG，从而OG=OH。

*题目12思路：延长BN交AC于点D，易证△ABN≌△ADN，从而AN=ND，AB=AD=10。M是BC中点，N是BD中点，故MN是△BDC的中位线，DC=2MN=6，所以AC=AD+DC=16。

四、结语

三角形