5.5.2简单的三角恒等变换 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册.pptxVIP

5.5.2简单的三角恒等变换

人教A版(2019)必修第一册

1.理解用二倍角公式推导半角公式的过程.

2.掌握用积化和差公式与和差化积公式进行简单的三角函数的化简求值.

新课引入

学习了和(差)角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行

三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方

法更加丰富.

例题来了

例7:

试以cosα表示sin²2,cos²2,tan²2

例题来了

解析：

α是的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin²α中，以α代替2α,

以替α,得

所以

例题来了

解析：

在倍角公式cos2α=2cos²α-1中，以α代替2α,以代替α,得

将①②两个等式的左右两边分别相除，得

所以

半角公式

例7的结果还可以表示为：

.C1-cosa

sin=±

22

称为半角公式，符号由所

在象限决定.

C

I

新知探究

因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且

还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式.这是三角恒等变换的一个重要特点.

例题来了

例8:

求证：

这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同?

新知探究

对于式子(1):左边是两个角的正弦与余弦的积；右边是两角和

与两角差正弦和的一半.

对于式子(2):左边是两个角正弦的和；右边是两角和差一半的正弦与余弦积的2倍.

简单来说，式子(1)是”积化和”,式子(2)是”和化积”,左

i右两边在结构上是积与和的相互转化.

例题来了

解析：(1)因为

sin(α+β)=sinacosβ+cosasinβ,

sin(α-β)=sinacosβ-cosasinβ,

将以上两式的左右两边分别相加，得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinacosβ,

例题来了

解析：(2)由(1)可得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinacosβ.①

设α+β=θ,α-β=φ,

那么把α,β的值代入①,即得

例8的证明用到了换元的方法.如把α+β看作θ,α-

φ,从而把包含α,β的三角函数式转化为θ,φ的三角函数式

或者把sinacosβ看作x,cosasinβ看作y把等式看作

的方程，则原问题转化为解方程(组)求x.它们都体现了

β看作

.

x,y

化归思想.

归纳总结

积化和差公式

θ+φθ-φ

cosθ+cosφ=2cosCOS

θ+①θ-①

cosθ-coSφ=-2sinsin

2.

和差化积公式

■人

sinθ-sinφ=2cossin⁹-

θ+4θ-φ

22

sinθ+sinφ=2sin

22

例题来了

例9:

求下列函数的周期，最大值和最小值：

(1)y=sinx+√3cosx;

(2)y=3sinx+4cosx.

例题来了

分析：

便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是y=Asin(x+φ),利用和角公式将其展开，可化为y=asinx+bcosx的形式.反之，利用和(差)角公式，可将y=asinx+bcosx转化为y=Asin(x+φ)的形式，

进而就可以求得其周期和最值了.

因此，所求周期为2π,最大值为2,最小值为-2.

例题来了

解析：

(1)y=sinx+√3cosx

例题来了

解析：

(2)设3sinx+4cosx=Asin(x+φ),则

3sinx+4cosx=Asinxcosφ+Acosxsinφ.

Acosφ=3,Asinφ=4,

A²cos²φ+A²sin²φ=25,

A²=25.

于是

于是

所以

由y=5sin(x+4)可知，所求周期为2π,最大值为5,

最小值为-5.

例题来了

解析：

取A=5,贝

对于(1)中的