5.4.1正弦函数、余弦函数的图像 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册.pptxVIP

5.4.1正弦函数、余弦函数的图象

人教A版(2019)必修第一册

1.理解正弦函数和余弦函数的图象.

2.掌握利用“五点作图法”作出正弦函数、余弦函数的简图.

新课引入

前面给出了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个函数

呢?类比已有的研究方法，可以先画出函数图象，通过观察图象

的特征，获得函数性质的一些结论.

新课引入

我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这

一现象可以用公式

sin(x±2π)=sinx,cos(x±2π)=cosx

来表示.这说明，自变量每增加(减少)2π,正弦函数值、余弦函数值将重

复出现.利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研

究过程.

新课引入

下面先研究函数y=sinx,x∈R的图象，从画函数y=sinx,

x∈[02π]的图象开始

在[02π]上任取一个值xo,如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数

值sinx₀,并画出点T(xo,sinxo)?

如图，在直角坐标系中画出以原点0为圆心的单位圆，⊙0与x轴

正半轴的交点为A(1,0).

新知探究

在单位圆上，将点A绕着点0旋转xo弧度至点B,根据正弦函数

的定义，点B的纵坐标yo=sinxo.由此，以xo为横坐标，yo为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x₀,sinxo)

新知探究

若把x轴上从0到2π这一段分成12等份，使xo的值分别为

06322π,它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分

新知探究

22

.

新知探究

新知探究

事实上，利用信息技术，可使xo在区间[02π]上取到足够多的值

而画出足够多的点T(xo,sinxo),将这些点用光滑的曲线连接起来，

可得到比较精确的函数y=sinx,x∈[02π]的图象(如图).

根据函数y=sinx,x∈[02π]的图象，你能想象函数y=sinx,x∈R

的图象吗?

新知探究

由诱导公式一可知，函数y=sinx,x∈[2kπ2(k+1π],k∈Z且k≠0

的图象与y=sinx,x∈[02π]的图象形状完全一致.

因此将函数y=sinx,x∈[02π]的图象不断向左、向右平移(每次移

动2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象(如图).

正弦函数的图象

正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条”波浪起伏”的连续光

滑曲线.

在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点?

(00),(πQ),,(2πQ)

在确定图象形状时起关键作用.

新知探究.

观察下图，在函数y=sinx,x∈[02π]的图象上，以下五个点：

描出这五个点，函数y=sinx,x∈[02π]的图象形状就基本确定

了.

因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的

曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种近似的“五点(画图)

法”是非常实用的.

新知探究

新知探究

由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密

切关联的函数.下面我们利用这种关系，借助正弦函数的图

象画出余弦函数的图象.

你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过

怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的

图象?

而函数,x∈R的图象可以通过正弦函数

y=sinx,x∈R

的图象向左平移个单位长度而得到.

新知探究

对于函数y=cosx,由诱导得，

,x∈R.

所以，将正弦函数的图象向左平移

的图象，如图所示.

兀2

个单位长度，就得到余弦函数

y↑

y=cosx,x∈R

-4π-73π≈52π-2π-32

π

十

π

2-1

y=sinx,x∈R

2πππ23元74πX

2

π

2

3

余弦函数的图象

余弦函数的图象

余弦函数y=cosx,x∈R的图象叫做余弦曲线.它是与正弦曲线

具有相同形状的波浪起伏的连续光滑曲线.

类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间[一π,π]上相

应的五个关键点，将它们的坐标填入下表，然后画出y=cosx,x∈[-π,π]的

简图.

X

COSX

兀兀

0