重点初中、外国语学校八年级上册压轴题数学模拟试卷.docVIP

重点初中、外国语学校八年级上册压轴题数学模拟试卷

一、压轴题

1．对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如：．

（1）已知．

①求的值；

②若关于的不等式组恰好有3个整数解，求的取值范围；

（2）当时，对任意有理数都成立，请直接写出满足的关系式．

学习参考：①，即单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的结果相加；②，即多项式乘以多项式就是用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加．

解析：（1）①；②42≤a＜54；（2）m=2n

【解析】

【分析】

（1）①构建方程组即可解决问题；

②根据不等式即可解决问题；

（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题．

【详解】

解：（1）①由题意得，

解得，

②由题意得，

解不等式①得p＞-1．

解不等式②得p≤，

∴-1＜p≤，

∵恰好有3个整数解，

∴2≤＜3．

∴42≤a＜54；

（2）由题意：（mx+ny）（x+2y）=（my+nx）（y+2x），

∴mx2+（2m+n）xy+2ny2=2nx2+（2m+n）xy+my2，

∵对任意有理数x，y都成立，

∴m=2n．

【点睛】

本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．（1）在等边三角形ABC中，

①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE=CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是度；

②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；

（2）如图③，在△ABC中，AC=BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE=CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB=α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．

解析：（1）①60°；②60°；（2）∠BFE=α．

【解析】

【分析】

（1）①先证明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先证明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；

（2）证明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．

【详解】

（1）如图①中，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，

∵AE=CD，

∴△ACE≌△CBD，

∴∠ACE=∠CBD，

∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．

故答案为60．

（2）如图②中，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，

∴∠CAE=∠BCD=′120°

∵AE=CD，

∴△ACE≌△CBD，

∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，

∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．

故答案为60．

（3）如图③中，

∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，

∴OC=OA，

∴∠EAC=∠DCB=α，

∵AC=BC，AE=CD，

∴△AEC≌△CDB，

∴∠E=∠D，

∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．

【点睛】

本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.

3．（1）如图1，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点，求证：．

（2）如图2，在中，若，分别以，和为边在外部作等边，等边，等边，连接、、恰交于点．

①求证：；

②如图2，在（2）的条件下，试猜想，，与存在怎样的数量关系，并说明理由．

解析：（1）详见解析；（2）①详见解析；②，理由详见解析

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的性质得出BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，进而得出∠BCE=∠ACD，判断出（SAS），即可得出结论；

（2）①同（1）的方法判断出（SAS），（SAS），即可得出结论；②先判断出∠APB=60°，∠APC=60°，在PE上取一点M，使PM=PC，证明是等边三角形，进而判断出（SAS），即可得出结论．

【详解】

（1）证明：∵和都是等边三角形，

∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE，

即∠BCE=∠ACD，

∴（SAS），

∴BE=AD；

（2）①证明：∵和是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

即∠ACD=∠BCE，

∴（SAS），

∴AD=BE，

同理：（SAS），

∴AD=CF，

即AD=BE=CF；

②