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2025必威体育精装版考研数学二向量与空间解析几何

向量与空间解析几何是考研数学二的重要考点，主要涉及向量的运算、空间直线与平面的方程、空间曲面与曲线等内容。以下为你详细介绍相关知识点及解题方法。

一、向量

（一）向量的基本概念与运算

1.向量的表示：向量可用有向线段表示，也可用坐标表示。在空间直角坐标系中，向量a=(ax,ay,a

2.向量的模：向量a=(ax,

3.向量的加减法：设a=(ax,ay,

4.向量的数乘：设a=(ax,ay

5.向量的数量积（点积）：a?b=|a||b|cosθ=ax

6.向量的向量积（叉积）：a×b=ijkaxayazbxbybz=i(

（二）典型例题

例1：已知向量a=(1,2,3)，b=(?1,0,2)，求a?b，a×b及a与b的夹角θ。

解：

二、空间直线与平面

（一）平面方程

1.点法式方程：若平面过点(x0,y0,z

2.一般式方程：Ax+By+Cz+D

3.截距式方程：若平面在x,y,z轴上的截距分别为a,b

（二）直线方程

1.对称式（点向式）方程：若直线过点(x0,y0,z

2.参数式方程：x=x0+

3.一般式方程：由两个平面方程联立A1x+B1y+C1z

（三）直线与平面的位置关系

1.直线与平面的夹角：设直线的方向向量为s=(m,n,p)，平面的法向量为n

2.直线与平面的位置关系判断：若s?n=0

（四）典型例题

例2：求过点(1,?1,2)且平行于平面2x?y+3z?1=0的平面方程。

解：已知平面平行于平面

例3：求直线x+y?z?1=0x?y+z+1=0与平面x+2y+z=0

三、空间曲面与曲线

（一）常见曲面方程

1.球面：(x?x0)2+

2.柱面：如圆柱面x2+y2=R2（母线平行于z轴），其准线是xOy

3.锥面：如圆锥面z2=k(x2+

4.旋转曲面：曲线f(y,z)=0绕

（二）空间曲线方程

1.一般式方程：F(

2.参数式方程：x=x(t

（三）典型例题

例4：求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xOy平面上的投影曲线方程。

解：先由x2+y2+z2=

掌握向量与空间解析几何的这些知识点和题型，通过大量练习真题和模拟题，能提高解题能力和空间想象能力，在考研数学二中取得好成绩。