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信号与系统课程考研真题解析

引言：真题的价值与解析的意义

信号与系统作为电子信息类专业的核心基础课程，其考研真题不仅是检验考生知识掌握程度的标尺，更是洞察命题规律、把握学科重点的窗口。对于备考者而言，仅仅完成教材习题是远远不够的，深入研习历年真题，尤其是那些经典且具有代表性的题目，能够帮助我们熟悉考点分布、理解出题思路、锤炼解题技巧，最终实现从知识积累到能力提升的跨越。本文旨在精选若干典型考研真题，进行深度剖析，不仅给出解题过程，更着重于思路的引导与方法的归纳，希望能为各位考生提供有益的参考。

一、时域分析：从信号描述到系统响应

时域分析是信号与系统的入门，也是理解后续变换域分析的基石。考研中，时域问题往往侧重于基本概念的理解和基本方法的应用。

典型例题1：卷积积分的计算与物理意义

*题目特征：通常给定两个信号的时域表达式或波形图，要求计算其卷积积分，并分析结果的物理意义，或结合LTI系统的输入输出关系（y(t)=x(t)*h(t)）求解系统响应。

*解析要点：

1.信号表达式的准确写出：若给出波形图，首先要能正确写出分段函数表达式，注意信号的起始时间、持续时间和幅度。这是后续计算的基础，一步错则步步错。

2.卷积积分的计算方法选择：

*解析法：适用于表达式简单的信号。关键在于确定积分限。这需要仔细分析两个信号相乘后非零的区间。可以通过“反褶、平移、相乘、积分”四步法的思想来辅助确定，但熟练后应能直接判断。

*图解法：对于波形复杂但规则的信号（如矩形脉冲、三角脉冲等），图解法能直观地帮助确定不同时间段内卷积结果的表达式。尤其要注意分段点的确定，以及各段内积分的上下限和被积函数。

*利用卷积性质简化：如线性性、时移性、微分积分性等。例如，若其中一个信号是单位冲激函数或其导数、积分，则可直接利用筛选特性得到结果，极大简化计算。

3.结果的验证与物理意义阐释：计算完成后，可通过检查结果的维度、起始时间等进行初步验证。更重要的是，要理解卷积结果的物理意义——对于LTI系统，它代表了系统在任意时刻对输入信号的“记忆”和“加权叠加”效应。

*常见误区与应对：积分限确定错误是最常见的问题。建议在计算前，在草稿纸上画出两个信号的波形（或其反褶平移后的波形），清晰标注重叠区间。对于分段较多的情况，要有耐心，逐段分析。

二、频域分析：从傅里叶变换到系统滤波特性

频域分析通过将信号分解为不同频率的正弦分量，为我们提供了另一种洞察信号与系统本质的视角。考研中，傅里叶变换的性质、系统的频率响应、滤波等概念是考查重点。

典型例题2：傅里叶变换性质的综合应用与信号通过LTI系统的频域分析

*题目特征：给定信号的傅里叶变换（或信号表达式，要求自行求解其傅里叶变换），利用傅里叶变换的性质（如时移、频移、尺度、卷积、乘积等）求解另一个与之相关信号的傅里叶变换；或者已知系统的频率响应H(jω)和输入信号的频谱X(jω)，求输出信号的频谱Y(jω)及输出信号y(t)。

*解析要点：

1.熟记傅里叶变换对与基本性质：这是解题的“工具箱”。如矩形脉冲、三角脉冲、单边指数信号、冲激串等的傅里叶变换，以及线性、奇偶虚实性、对称性、时移、频移、尺度变换、时域微分/积分、频域微分/积分、时域卷积定理、频域卷积定理（调制定理）等。

2.信号的分解与组合：复杂信号往往可以看作是基本信号经过某种运算（时移、尺度、叠加、调制、卷积等）得到的。要善于将待求傅里叶变换的信号与已知变换对的信号联系起来。

3.系统频域分析的核心：Y(jω)=X(jω)*H(jω)。明确这一点后，问题就转化为频谱的乘积运算。需要注意H(jω)通常是ω的复函数，包含幅频特性和相频特性。

4.由Y(jω)求y(t)：这涉及到傅里叶逆变换的计算。同样，优先考虑利用已知变换对和变换性质，而不是直接积分。若Y(jω)是分段函数或由多个基本频谱分量组成，可分别求逆变换再叠加。

*常见误区与应对：对性质记忆不准确或混淆（如时移对应相位变化，频移对应调制）。建议在应用性质时，先写出性质的数学表达式，再代入具体信号。对于多步性质应用，要分步进行，每一步都确保正确。此外，对于实信号的傅里叶变换，其幅频特性偶对称、相频特性奇对称，这一性质可用于校验结果的正确性。

三、连续系统的s域分析：模型、响应与稳定性

拉普拉斯变换将时域中的微分方程转化为s域中的代数方程，极大简化了系统分析。考研中，系统函数H(s)的求解与应用、系统稳定性的判断、零极点分析是核心内容。

典型例题3：基于系统函数H(s)的响应求解与稳定性分析

*题目特征：给定系统的电路图（含R、L、C元件）或微分方程，求系统函数H(s)；或已知H(s)的表达式及其零极点图，分析