高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版选择性必修第一册）专题04 椭圆（期中复习讲义，13大核心题型）.docxVIP

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专题04椭圆（期中复习讲义）

核心考点

复习目标

考情规律

椭圆的定义

理解并掌握椭圆的定义,培养数学抽象的核心素养.

基础必考点，常出现在小题

椭圆及其标准方程

掌握椭圆的标准方程及其推导过程,提升数学运算的核心素养.

基础必考点，常出现在小题或者大题第（1）问，计算能力是关键

椭圆的简单几何性质

1、掌握椭圆的几何性质,掌握a,b,c,e的几何意义及a,b,c,e之间的相互关系,培养数学抽象的核心素养.

2、尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质,提升数学运算的核心素养.

高频易错点，常出现在小题，特别是离心率的求法是高频考点

直线与椭圆的位置关系

掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法,会判断直线与椭圆的位置关系,培养直观想象的核心素养.

基础必考点，常出现在大题

椭圆的弦长公式、中点弦问题

初步探寻弦长公式有关知识,能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题,提升数学运算与逻辑推理的核心素养.

重难必考点，利用韦达定理、点差法突破弦长公式以及面积问题、中点弦问题

知识点01椭圆的定义

1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，

这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.

说明：

若，的轨迹为线段；

若，的轨迹无图形

2、定义的集合语言表述

集合.

知识点02椭圆的标准方程

1、椭圆标准方程的推导

图1

图1

（1）怎样建立适当的直角坐标系？

以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1．

（2）椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？

设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）.

焦点的坐标分别是，

又设M与的距离的和等于常数．

由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|}

因为，，所以

（3）遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？

即

两边平方得，整理得

再平方并整理得，两边同除以得

考虑,应有，故设，就有．

2、椭圆的标准方程对比

焦点位置

焦点在轴上

焦点在轴上

标准方程

（）

（）

图象

焦点坐标

，

，

的关系

3、椭圆标准方程的求解

（1）利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤

=1\*GB3①定位：确定焦点在那个坐标轴上；

=2\*GB3②定量：依据条件及确定的值；

=3\*GB3③写出标准方程．

【常用结论】

①求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为；

②当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数．

知识点03点与椭圆的位置关系

1、根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论：

点P在椭圆内部；

点P在椭圆上；

点P在椭圆外部．

2、对于点与椭圆的位置关系，有如下结论：

点在椭圆外；

点在椭圆内；

点在椭圆上；

知识点04椭圆的焦点三角形

1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”．

2、两个性质

知识点05椭圆的简单几何性质

焦点的位置

焦点在轴上

焦点在轴上

图形

标准方程

（）

（）

范围

，

，

顶点

，，

，

轴长

短轴长＝，长轴长＝

焦点

焦距

对称性

对称轴：轴、轴对称中心：原点

离心率

，

注：离心率：椭圆焦距与长轴长之比：.（）

当越接近1时，越接近，椭圆越扁；

当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆；

当且仅当时，图形为圆，方程为

【常用结论】

①与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：

②椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：

（1）；

（2），，；

（3）,，；

知识点06直线与椭圆的位置关系

1、位置关系的判断

直线与椭圆的位置关系

联立消去y得一个关于x的一元二次方程．

①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；

②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；

③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．

2、直线与椭圆相交的弦长公式

（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．

（2）求弦长的方法

=1\*GB3①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．

=2\*GB3②根与系数的关系法：

若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：

弦长

弦长

这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

；

3、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为，；

（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；

（3）写出根与系数的关系；

（4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式；

（5）代入求解．

知识点07中点弦问题与点差法

1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时）