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九年级数学函数知识点讲义

引言

同学们，当我们开始接触“函数”这个概念时，意味着我们的数学学习进入了一个新的阶段。函数，简单来说，是描述变量之间相互依赖关系的一种数学模型。它不仅仅是抽象的符号和公式，更是我们理解现实世界中各种变化规律的有力工具。从日常生活中的行程问题、购物计算，到科学研究中的运动轨迹、经济分析，函数都扮演着至关重要的角色。本讲义旨在帮助同学们系统梳理九年级阶段所学的函数知识，建立清晰的知识框架，提升运用函数思想解决问题的能力。

一、函数的基本概念

1.1函数的定义

在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

这里的关键词是“两个变量”、“x的每一个确定的值”以及“y都有唯一确定的值与其对应”。“唯一确定”是函数概念的核心，它确保了对应关系的确定性。

1.2函数值

对于自变量x在取值范围内的一个确定的值a，函数y所对应的确定的值称为当x=a时的函数值，记作f(a)或y|???。

1.3自变量的取值范围（定义域）

自变量x的取值必须使函数表达式有意义，并且在实际问题中，还需要考虑自变量的实际意义。

*整式型函数：自变量的取值范围是全体实数。

*分式型函数：分母不能为零。

*二次根式型函数：被开方数必须是非负数。

*实际问题：自变量的取值要符合实际情况，例如时间不能为负，人数必须为正整数等。

1.4函数值的集合（值域）

对于自变量x在取值范围内的所有值，对应的函数值y的全体组成的集合，叫做函数的值域。值域由定义域和函数关系共同决定。

二、函数的表示方法

函数关系是多样的，我们通常采用以下三种方法来表示一个函数：

2.1列表法

通过列出自变量x的值与对应的函数值y的值的表格来表示函数关系。

*优点：一目了然，能直接看出部分自变量与函数值的对应关系。

*缺点：只能表示有限个点的对应关系，不便于反映函数的整体变化趋势。

2.2解析式法（关系式法）

用数学式子（等式）来表示两个变量之间的函数关系，这个等式叫做函数的解析式。

*优点：简洁明了，便于进行理论分析、计算和推导。

*缺点：不够直观，有些函数关系难以用解析式表示。

2.3图像法

对于一个函数，把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点，这些点组成的图形就是这个函数的图像。

*优点：直观形象，能清晰地反映函数的变化趋势、最值等性质。

*缺点：有时不够精确，从图像上读取的值通常是近似值。

这三种表示方法各有优劣，在解决实际问题时，我们常常需要根据具体情况选择合适的方法，或者将几种方法结合起来使用。

三、几种重要的函数类型

九年级阶段，我们主要学习以下几种基本而重要的函数：

3.1正比例函数

*定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

*图像：正比例函数y=kx的图像是经过原点(0,0)的一条直线。

*性质：

*当k0时，直线经过第一、三象限，y随x的增大而增大（即函数为增函数）。

*当k0时，直线经过第二、四象限，y随x的增大而减小（即函数为减函数）。

*|k|的值越大，直线与x轴正方向所成的角越大，图像越“陡”；|k|的值越小，直线越“平缓”。

3.2一次函数

*定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。当b=0时，一次函数y=kx+b就变成了正比例函数y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数。

*图像：一次函数y=kx+b的图像是一条直线，我们称它为直线y=kx+b。它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到（当b0时，向上平移；当b0时，向下平移）。

*性质：

*当k0时，y随x的增大而增大。

*当k0时，y随x的增大而减小。

*直线y=kx+b与y轴交于点(0,b)，与x轴交于点(-b/k,0)。

*k的几何意义：表示直线的倾斜程度，即斜率。b的几何意义：表示直线与y轴交点的纵坐标，即截距。

3.3反比例函数

*定义：一般地，形如y=k/x（k是常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数。也可以表示为y=kx?1的形式。

*图像：反比例函数y=k/x的图像是双曲线。

*性质：

*当k0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小。

*当k0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大。

*双曲线的两支都无限接近于x轴和y轴，但永远不会与坐标轴相交。

*反比例函数的图像是中心对称图形，对称中