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人教版因式分解的解析与例题分析

教学内容：

1.因式分解的定义和意义；

2.提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解的方法；

3.如何运用因式分解解决实际问题。

教学目标：

1.使学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法，能运用因式分解解决实际问题；

2.培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力；

3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教学难点与重点：

难点：因式分解的方法和技巧，特别是分组分解法和综合运用各种方法的灵活性。

重点：因式分解的概念和方法，以及如何运用因式分解解决实际问题。

教具与学具准备：

教具：黑板、粉笔、投影仪、教学课件等。

学具：笔记本、尺子、圆规、橡皮擦等。

教学过程：

一、情景引入（5分钟）

通过一个实际问题引出因式分解的概念，如：“某商店举行打折活动，原价为1200元的商品打8折后售出，求打折后的售价。”

二、知识讲解（15分钟）

1.讲解因式分解的定义和意义，让学生理解因式分解的作用；

2.讲解提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解的方法，并通过例题进行演示；

3.分析各种方法的适用范围和注意事项。

三、例题讲解（15分钟）

1.选取具有代表性的例题进行讲解，让学生掌握因式分解的方法和技巧；

2.引导学生思考如何运用因式分解解决实际问题。

四、随堂练习（10分钟）

设计一些练习题，让学生运用所学的因式分解方法进行解答，巩固所学知识。

五、课堂小结（5分钟）

六、板书设计（课堂实时进行）

根据讲解的内容，设计简洁明了的板书，帮助学生理解和记忆。

七、作业设计（5分钟）

1.布置一些因式分解的练习题，让学生巩固所学知识；

2.布置一道实际问题题目，让学生运用因式分解解决。

八、课后反思及拓展延伸（课后进行）

1.反思本节课的教学效果，分析学生的掌握情况，为下一节课的教学做好准备；

2.引导学生进行拓展延伸，如研究因式分解在实际问题中的应用，查阅相关资料等。

作业题目：

1.因式分解练习题：

（1）x^25x+6；（提公因式法）

（2）x^2+2x3；（公式法）

（3）x^24x+4；（分组分解法）

（4）x^2+6x+9；（分组分解法）

2.实际问题题目：

某农场种植苹果和梨两种水果，苹果树有200棵，梨树有150棵。苹果每千克售价为10元，梨每千克售价为8元。如果将这些水果全部卖出，平均每棵果树收益是多少元？（运用因式分解解决实际问题）

答案：

1.（1）x^25x+6=(x2)(x3)

（2）x^2+2x3=(x+3)(x1)

（3）x^24x+4=(x2)^2

（4）x^2+6x+9=(x+3)^2

2.平均每棵果树收益为7.2元。

重点和难点解析：

本节课的重点和难点主要在于因式分解的方法和技巧，特别是分组分解法和综合运用各种方法的灵活性。因式分解是初等数学中的重要内容，它不仅可以帮助我们更好地理解多项式的结构，而且广泛应用于方程的解法、最大公因数的求解等领域。下面将对这两个方面进行详细的补充和说明。

一、分组分解法

分组分解法是将多项式中的项按照一定的规律进行分组，从而将原多项式转化为几个一次或二次多项式的乘积。这种方法适用于多项式中存在若干项可以被一组公因式整除的情形。具体操作步骤如下：

步骤1：观察多项式，找出可以分组的项目。

步骤2：将可以分组的项目划分为一组，其他项单独一组。

步骤3：对每一组进行因式分解。

步骤4：将各组的因式进行组合，得到最终的因式分解式。

例如，对多项式x^24x+4进行分组分解：

步骤1：观察到x^24x+4中，x^2和4x可以分为一组，4单独一组。

步骤2：对第一组x^24x，提取公因式x，得到x(x4)。

步骤3：对第二组4，提取公因式4，得到4。

步骤4：将两组的因式组合，得到x^24x+4=(x2)^2。

二、综合运用各种方法的灵活性

在实际进行因式分解时，往往需要灵活运用多种方法。不同的多项式可能需要采用不同的策略。例如，对于多项式x^2+6x+9，我们可以先观察到它是一个完全平方，即(x+3)^2，这就是一个公式法的应用。但如果我们没有立即看出它是完全平方，我们也可以先尝试提公因式，再看是否可以继续分解。如下：

步骤1：观察多项式，尝试提取公因式。

步骤2：如果可以提取公因式，对提取公因式后的多项式继续进行因式分解。

步骤3：如果无法提取公因式，尝试其他方法，如观察多项式是否为完全平方、是否有重复的项等。

步骤4：将各种方法的结合运用，得到最终的因式分解式。

例如，对多项式x^2+6x+9进行因式分解：

步骤1：观察到x^2+6x+9