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八年级数学核心知识点总结导学案

同学们，八年级的数学学习是承上启下的关键阶段。它既深化了七年级所学的代数与几何基础，也为九年级更复杂的知识体系做好铺垫。这份导学案旨在帮助大家系统梳理本学期的核心知识点，查漏补缺，巩固提升。请同学们在使用过程中，结合课本例题与课堂笔记，主动思考，动手演算，真正做到理解透彻、运用自如。

一、实数

实数是我们对数系的一次重要扩展，它将有理数和无理数统一起来，为后续学习打下坚实基础。

1.1平方根与立方根

*平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

*表示方法：a的平方根记为±√a（a≥0）。

*算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记为√a。零的算术平方根是零。

*立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。任何实数都有且只有一个立方根。

*表示方法：a的立方根记为√[3]{a}。

*性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零。

思考与提示：平方根与算术平方根的区别与联系是什么？如何快速判断一个数是否为某个数的立方根？

1.2实数的概念与分类

*无理数：无限不循环小数叫做无理数。如√2，π等。

*实数：有理数和无理数统称为实数。

*分类：

*按定义：有理数（整数、分数）和无理数。

*按大小：正实数、零、负实数。

1.3实数的性质与运算

*性质：实数与数轴上的点一一对应。

*相反数：实数a的相反数是-a。

*绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。

*运算：实数的加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算都可以进行，混合运算的顺序与有理数相同。有理数的运算律在实数范围内仍然适用。

学习建议：理解无理数的“无限不循环”特性是关键。进行实数运算时，要注意运算顺序和符号。

二、整式的乘除与因式分解

整式的乘除是代数运算的基础，因式分解则是整式乘法的逆过程，在代数式化简、求值、解方程等方面有广泛应用。

2.1整式的乘法

*同底数幂的乘法：am·an=am+n(m,n都是正整数)。底数不变，指数相加。

*幂的乘方：(am)n=amn(m,n都是正整数)。底数不变，指数相乘。

*积的乘方：(ab)n=anbn(n是正整数)。积的乘方等于各因式乘方的积。

*单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

*单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

*多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

2.2乘法公式

*平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

*完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2。两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的两倍。

思考与提示：如何灵活运用乘法公式进行简便运算？注意公式的结构特征和符号变化。

2.3整式的除法

*同底数幂的除法：am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数，且mn)。底数不变，指数相减。

*零指数幂：a?=1(a≠0)。

*单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

*多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

2.4因式分解

*定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

*基本方法：

*提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

*公式法：利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。

*一般步骤：一提（公因式）、二套（公式）、三查（是否分解彻底）。

学习建议：因式分解与整式乘法是互逆过程，多做对比练习有助于理解。分解因式要分解到每一个因式都不能再分解为止。

三、分式

分式是不同于整式的另一类有理式，它的概念、性质和运算都与分数有类似之处，但也有其特殊性。

3.1分式的概念

*定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

*分式有意义的条件：分母不为零