专题04 向量三大定理及四心培优归类（12题型）（原卷版）.pdf

专题04向量三大定理及四心培优归类

题型1奔驰定理

奔驰定理：设是内一点，DBOC,DAOC,DAOB的面积分别记作S,S,S,则

ODABCABC

uuuruuuruuurr

S×OA+S×OB+S×OC=0.

ABCA

SCOSB

S

A

BC

注：若为内一点，且满足

ODABC

，则、、的面积之比等于::

OA+OB+OC=0△AOB△AOC△BOC321

123

uuuruuuruuuruuuuruuuruuuur

uuuruuuuruuuur

证明：如图，令¢¢¢，即满足

OA=OA，OB=OB，OC=OC¢¢¢

123OA+OB+OC=0

S1S1S1

△AOB△AOC△BOC

===S:S:S=::

，，，故△AOB△AOC△BOC321.

S¢¢S¢¢S¢¢

△AOB12△AOC13△BOC23

1．（24-25高三·湖北武汉·模拟）奔驰定理：已知O是VABC内的一点，若VBOC、△AOC、VAOB的面

积分别记S、S、S，则uuuruuuruuurr.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这

123S×OA+S×OB+S×OC=0

123

个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其“奔驰定理”.如图，已知O是VABC的垂

心，且uuuruuuruuurr，则tanA=（）

2OA+3OB+4OC