期中模拟卷01（参考答案）-A4.docxVIP

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2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷01

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.测试范围：空间直线与平面+简单几何体+空间向量及其应用

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.

1．120°2．3．4．

5．6．尺7．??8．

9．10．11．12．

二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。）

13

14

15

16

C

C

A

A

三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.）

17．（14分）

【详解】（1）因为在长方体中，易知：且，且，

所以四边形为平行四边形，四边形也是平行四边形；

因此，；

又平面，平面；平面，平面；

所以平面；平面；

又平面，平面，，

所以平面平面；……（7分）

（2）过点作于点，

因为在长方体中，易知：平面，

所以，又平面，平面，

所以平面，

因此，为与平面所成的角；

又在长方体中，，，

因此，

所以；

即与平面所成的角为.……（14分）

18．（14分）

【详解】（1）解法一：

证明：连接与交于点，则是的中点，连接，

又是的中点，则有，

平面，平面，所以平面.

解法二：，则有，又平面，

以为原点，的正方向为轴，轴，轴的方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，

设平面的一个法向量为，有，

令，则，得，

于是，且平面，故平面.……（7分）

（2）解法一：

取的中点，连接，

直三棱柱中，平面，平面，故，

又为的中点，则有且.

由，则有，

又，平面，

所以平面，平面.

，.

解法二：

在（1）的基础上，，

设平面的一个法向量为，，

令则，得，

于是点到平面的距离为，

于是.……（14分）

19．（14分）

【详解】（1）连接交点为，设球的半径为，

由题意可知，则，

四棱锥的体积为，解得，

则该半球的体积为；……（7分）

??

（2）由题意知，

所得几何体的表面积为

.……（14分）

20．（18分）

【详解】（1）矩形截面外接圆直径为D，由勾股定理，矩形长h、宽b满足，

因，设,

代入，得，即，解得（舍负根），

因此，，，因矩形抗弯截面系数公式为，

将b、h代入，可得，

综上，当时，矩形截面抗弯截面系数为；……（9分）

（2）假设截面面积均为正常数S，则，，，因，

，又因为，所以，即，

综上，，故矩形截面的梁的截面形状最好．……（18分）

21．（18分）

【详解】（1）如图，

延长相交于点，

因为，所以，

所以是边长为1的等边三角形，，

所以，，

由余弦定理得，

即，即，

所以；……（6分）

（2）

延长相交于点，是边长为1的等边三角形，

由（1），得，，

所以，

，

故四边形的面积为

要向折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大，

故使平面平面，此时四棱锥的高即为边上的高，

因为的面积为，设边上的高为，

则，解得，

故四棱锥的体积的最大值为；……（12分）

（3）作交于点，由，所以，

可得，所以点为的中点，

取的中点，连接，

则，可得，所以，

设翻折前点为，连接，则，，，

作交于点，连接，

因为，，，平面，

所以平面，平面，所以，

因为，平面，所以平面，

所以为直线与平面所成的角，

由于，，所以，

因为分别为的中点，所以，，

，

由余弦定理得

，，

所以.……（18分）