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初三圆的经典练习题good

同学们，进入初三，数学的难度和综合性都有了一定的提升，而“圆”这一章节，无疑是平面几何的集大成者之一，也是中考的重点和难点。它不仅要求我们掌握众多的定理和性质，更考验我们综合运用知识、添加辅助线以及逻辑推理的能力。很多同学在面对与圆相关的复杂题目时，常常感到无从下手。其实，解决圆的问题，关键在于对基本概念的深刻理解和对常用辅助线作法的熟练掌握。下面，我将结合几道经典例题，和大家一同探讨圆的解题思路与技巧，希望能对同学们有所启发。

一、核心知识回顾与点拨

在深入例题之前，我们先来简要回顾一下与圆相关的几个核心知识点，这是我们解决一切圆的问题的基石：

1.圆的对称性：圆既是轴对称图形，也是中心对称图形。这一性质引申出了垂径定理及其推论，是解决弦长、弦心距问题的关键。

2.圆心角与圆周角：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角，这一点在构造直角三角形时尤为重要。

3.切线的判定与性质：切线的判定定理（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）和性质定理（圆的切线垂直于经过切点的半径）是连接圆与直线位置关系的桥梁，常与勾股定理、相似三角形结合考查。

4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

5.圆内接四边形：对角互补，外角等于内对角。

这些知识点并非孤立存在，在解题时往往需要我们综合运用。记住，辅助线是平面几何的灵魂，对于圆来说，常见的辅助线有：连半径、作弦心距、作直径所对的圆周角、过切点作切线等。

二、经典例题精析

例题一：垂径定理与勾股定理的完美结合

题目：已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。

思路分析：拿到这道题，我们首先应该想到“圆心到弦的距离”，这自然就联想到了垂径定理。垂径定理告诉我们，垂直于弦的直径平分弦。所以，我们可以作出这条关键的辅助线——过点O作OC⊥AB于点C，垂足为C。这样一来，OC就是圆心O到AB的距离，即OC=3cm，同时，AC=CB=AB/2=4cm。此时，在Rt△OAC中，OA是圆的半径r，OC和AC是两条直角边，根据勾股定理即可求出半径。

解答过程：

解：过点O作OC⊥AB于点C，则OC=3cm，AC=AB/2=4cm。

在Rt△OAC中，由勾股定理得：

OA2=OC2+AC2

即r2=32+42=9+16=25

所以r=5cm。

答：⊙O的半径为5cm。

点评：这道题是垂径定理应用的基础题型，但其体现的“构造直角三角形，利用勾股定理求半径、弦长或弦心距”的思想非常重要，是解决圆中线段长度问题的常用方法。

例题二：圆心角、圆周角与等腰三角形的综合

题目：如图，在⊙O中，AB是直径，点C、D在⊙O上，且AD=DC。若∠CAB=25°，求∠ADC的度数。

思路分析：要求∠ADC的度数，我们需要找到与它相关的角。已知条件中有AD=DC，这提示我们△ADC是等腰三角形，所以∠DAC=∠DCA。又因为点A、D、C都在圆上，所以它们所对的弧之间存在关系。AB是直径，这通常意味着要用到“直径所对的圆周角是直角”这一性质，但本题中∠CAB=25°，我们可以先连接BC，得到Rt△ABC，求出∠B的度数，而∠B与∠ADC所对的弧是否相同呢？或者，我们也可以连接OD，利用圆心角与圆周角的关系。

我们尝试连接OC和OD。因为AD=DC，所以弧AD=弧DC，那么它们所对的圆心角∠AOD=∠DOC。∠CAB是圆周角，它所对的弧是弧CB，所以∠COB=2∠CAB=50°。因为AB是直径，所以∠AOB=180°，那么∠AOC=180°-∠COB=130°。而∠AOC=∠AOD+∠DOC=2∠AOD（因为∠AOD=∠DOC），所以∠AOD=65°。在△AOD中，OA=OD（半径相等），所以∠OAD=∠ODA=(180°-∠AOD)/2=(180°-65°)/2=57.5°。同理，∠ODC=57.5°。因此，∠ADC=∠ODA+∠ODC=57.5°+57.5°=115°。

或者，更简便一点，连接BC。因为AB是直径，所以∠ACB=90°。∠CAB=25°，所以∠B=65°。∠B所对的弧是弧AC，∠ADC也是圆周角，它所对的弧是弧AC吗？不，点D在弧AC上，AD=DC，所以∠ADC所对的弧是弧AC的优弧。因为同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，而优弧AC所对的圆心角是360°-弧AC所对的圆心角。弧AC所对的圆周角是∠B=65°，所以优弧AC所对的圆周角∠ADC=180°-65°=115°（圆内接四边形对角互补的思想，若延长AD或DC构造圆内接四边形会更直观