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人教A版新课标高中数学必修一教案《等式性质与不等式性质》

同学们，我们在初中阶段已经系统学习了等式的基本性质，并运用这些性质解决了许多代数问题。今天，我们将进入一个新的领域——不等式。与等式一样，不等式也是数学表达数量关系的重要工具，在解决实际问题中有着广泛的应用。那么，不等式是否也具有类似等式的一些性质呢？如果有的话，它们之间又有哪些联系与区别？这将是我们本节课共同探究的核心内容。通过类比等式性质来学习不等式性质，是我们掌握新知识的有效途径，希望大家能积极思考，主动参与到今天的探究活动中来。

二、本课教学目标

通过本节课的学习，我们期望同学们能够：

1.回顾并巩固等式的基本性质，理解等式性质的本质。

2.通过具体实例和类比推理，探索并归纳不等式的基本性质，理解不等式性质与等式性质的异同点，特别是关注在数乘运算中不等号方向的变化规律。

3.能够运用不等式的基本性质对不等式进行简单的变形，并判断变形的正确性。

4.在探究不等式性质的过程中，体会类比、归纳、抽象等数学思想方法，提升逻辑推理能力和数学表达能力。

5.感受数学知识之间的内在联系，培养严谨的思维习惯和勇于探索的精神。

三、教学重点与难点

教学重点：

不等式的三个基本性质及其探究过程。同学们不仅要记住这些性质，更要理解它们是如何得来的，以及在什么条件下适用。

教学难点：

1.不等式性质3的理解与准确应用，即不等式两边同乘（或除以）一个负数时，不等号方向需要改变。这是不等式与等式性质的主要区别，也是最容易出错的地方。

2.准确运用不等式的性质进行不等式的等价变形，并能清晰阐述变形的依据。

四、教学过程设计

（一）温故知新，类比引入

教师活动：

1.提问：同学们，我们在初中学习过等式，还记得等式有哪些基本性质吗？请大家回忆一下，并尝试用自己的话描述出来，或者用符号语言表示。

（引导学生回忆等式的性质：等式两边加（减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。）

2.强调：等式的这些性质是我们进行等式变形的依据，非常重要。

学生活动：

思考并回答等式的性质，可以互相补充。

设计意图：通过回顾等式性质，为后续类比学习不等式性质做好知识上的铺垫和方法上的引导，激发学生的学习兴趣和探究欲望。

（二）新知探究，合作交流

探究一：不等式的性质1——对称性与传递性

教师活动：

1.给出简单的不等式：32。

提问：如果我们把这个不等式左右两边交换位置，得到23，这个式子还成立吗？那应该用什么符号连接？（引导学生得出23）

由此，你能猜想出不等式的一个什么性质吗？（对称性：若ab，则ba）

2.再给出一组不等式：53，31。

提问：那么5和1之间有什么大小关系呢？（51）

对于一般的情况，如果ab且bc，那么a与c有什么关系？（引导学生得出ac，即传递性）

学生活动：

思考，回答，初步感知不等式的对称性和传递性。

设计意图：从具体实例入手，引导学生自主发现不等式的对称性和传递性，培养学生的观察能力和归纳能力。

探究二：不等式的性质2与性质3——加减与乘除运算

教师活动：

1.类比等式性质1（加减）：

我们知道等式两边加（减）同一个数，等式仍然成立。那么不等式呢？

请同学们完成下面的填空，并观察不等号的方向是否改变：

已知62，

6+5___2+5（）

6-5___2-5（）

6+(-3)___2+(-3)（）

6-(-3)___2-(-3)（）

提问：通过以上例子，你能得出什么结论？（引导学生总结：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。即如果ab，那么a+cb+c，a-cb-c）——这就是不等式的性质2。

2.类比等式性质2（乘除正数）：

等式两边乘（或除以）同一个正数，等式仍然成立。不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向会改变吗？

请同学们继续填空：

已知62，

6×5___2×5（）

6÷2___2÷2（）

6×0.5___2×0.5（）

提问：不等号方向改变了吗？由此你能得出什么结论？（引导学生总结：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即如果ab，c0，那么acbc，a/cb/c）——这可看作是不等式性质2的延伸，或称为性质2的推论。

3.探究乘除负数的情况（性质3的核心）：

这是最关键也最容易出错的地方。如果不等式两边乘（或除以）同一个负数，情况会怎样呢？

请同学们大胆猜想一下，然后通过实例验证：

已知6