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2025年下学期高中数学问题解决试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|log?(x-1)≥1}，则A∩B=（）

A.[1,2]B.[2,+∞)C.[2,3]D.[1,3]

复数z满足(1+i)z=2i，则|z|=（）

A.1B.√2C.2D.2√2

已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥(a+b)，则m=（）

A.-3B.-1C.1D.3

函数f(x)=ln(x2-2x-3)的单调递增区间是（）

A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(3,+∞)D.(-∞,-1)

某学校高二年级共有学生1200人，其中男生700人，女生500人，为了解学生视力情况，现采用分层抽样的方法抽取容量为120的样本，则应抽取女生人数为（）

A.40B.50C.60D.70

已知等差数列{a?}的前n项和为S?，若a?+a?=14，S?=49，则a?=（）

A.1B.2C.3D.4

已知α为锐角，tanα=2，则sin(α+π/4)=（）

A.3√10/10B.√10/10C.7√2/10D.√2/10

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A.4π/3B.8π/3C.16π/3D.32π/3

已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，且PF⊥x轴，则以PF为直径的圆的方程为（）

A.(x-1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=2C.(x-2)2+y2=1D.(x-2)2+y2=2

执行如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的S=（）

A.10B.15C.20D.25

已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2在区间(-1,1)上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A.(-∞,-3]B.(-∞,0]C.[0,3]D.[3,+∞)

已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)=x2-2x，则函数g(x)=f(x)-log?|x|的零点个数为（）

A.4B.5C.6D.7

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

若x，y满足约束条件{x+y≥1，x-y≤1，y≤1}，则z=2x+y的最大值为______。

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=3，C=60°，则c=______。

已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω0，|φ|π/2)的部分图象如图所示，则ω=，φ=。

已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=PB=PC=2，AB=AC=BC=2√3，则球O的表面积为______。

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

（本小题满分10分）

已知数列{a?}满足a?=1，a???=2a?+1。

（1）证明：数列{a?+1}是等比数列；

（2）求数列{a?}的前n项和S?。

（本小题满分12分）

某学校为了解学生每天参加体育锻炼的时间，随机抽取了100名学生进行调查，得到如下频数分布表：

锻炼时间（分钟）

[0,20)

[20,40)

[40,60)

[60,80)

[80,100]

频数

10

20

30

25

15

（1）求这100名学生每天参加体育锻炼时间的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）若该校共有学生3000人，估计每天参加体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数。

（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ABC-A?B?C?中，AA?⊥底面ABC，AB=AC=AA?=2，∠BAC=90°，点D是BC的中点。

（1）求证：A?B//平面ADC?；

（2）求二面角C?-AD-C的余弦值。

（本小题满分12分）

已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(ab0)的离心率为√3/2，且过点(2,1)。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，求m2的取值范围。

（本小题满分12分）

已知函数f(x)=xlnx-ax2+x(a∈R)。

（1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，求a的取值范围；

（3）若函数f(x)有两个极值点x?，x?，且x?x?，证明：x?+x?1。

（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线C?的参数方程为{x=2+2cosα，y=2sinα}（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C?的极坐标方程为ρ=4sinθ。

（1）求曲线C?的普通方程和曲线C?的直角坐标方程；