2025年下学期高中数学微分法技术试卷.docVIP

2025年下学期高中数学微分法技术试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

函数$f(x)=x^3-2x^2+1$在$x=1$处的导数为（）

A.$-1$B.$0$C.$1$D.$2$

若函数$f(x)$在$x=a$处可导，则下列结论正确的是（）

A.$f(x)$在$x=a$处不一定连续

B.$f(x)$在$x=a$处的导数就是该点的函数值

C.若$f(a)=0$，则$x=a$是函数$f(x)$的极值点

D.导数$f(a)$的几何意义是曲线$y=f(x)$在点$(a,f(a))$处的切线斜率

下列函数中，导数为$f(x)=2x+1$的是（）

A.$f(x)=x^2$B.$f(x)=x^2+x$C.$f(x)=2x^2+x$D.$f(x)=x^2+x+1$

函数$f(x)=\sinx+\cosx$的导数是（）

A.$\cosx+\sinx$B.$\cosx-\sinx$C.$-\cosx+\sinx$D.$-\cosx-\sinx$

若函数$f(x)=\ln(2x+1)$，则$f(1)$的值为（）

A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{2}{3}$C.$1$D.$2$

曲线$y=x^2-2x+3$在点$(2,3)$处的切线方程为（）

A.$y=2x-1$B.$y=2x+3$C.$y=-2x+7$D.$y=-2x+1$

函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的单调递减区间是（）

A.$(-\infty,0)$B.$(0,2)$C.$(2,+\infty)$D.$(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$

若函数$f(x)=x^2+ax+b$在$x=1$处取得极值$2$，则$a+b$的值为（）

A.$1$B.$2$C.$3$D.$4$

设函数$f(x)=e^x(x^2-1)$，则$f(x)$等于（）

A.$e^x(x^2+2x-1)$B.$e^x(x^2-2x-1)$C.$e^x(x^2+2x+1)$D.$e^x(x^2-2x+1)$

某物体的运动方程为$s(t)=t^3-3t^2+2t$（单位：米），则该物体在$t=2$秒时的瞬时速度为（）

A.$2$米/秒B.$4$米/秒C.$6$米/秒D.$8$米/秒

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

函数$f(x)=x^4-2x^3+5$的二阶导数$f(x)=$________。

若函数$f(x)=\frac{x+1}{x-1}$，则$f(x)=$________。

曲线$y=x^3-3x$在点$(1,-2)$处的切线斜率为________。

函数$f(x)=\frac{1}{2}x^2-4x+3$在区间$[0,5]$上的最大值为________。

已知函数$f(x)$的导函数$f(x)=3x^2-6x+2$，且$f(0)=1$，则$f(x)=$________。

三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

（本小题满分12分）

求下列函数的导数：

（1）$f(x)=3x^4-2x^2+7x-1$；

（2）$f(x)=(2x+1)(x^2-3)$；

（3）$f(x)=\frac{\sinx}{x}$。

（本小题满分12分）

已知函数$f(x)=x^3-3x^2+6x-1$，求：

（1）函数$f(x)$的导数$f(x)$；

（2）函数$f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程；

（3）函数$f(x)$的单调区间和极值。

（本小题满分12分）

设函数$f(x)=x^2-2\lnx$，求：

（1）函数$f(x)$的定义域和导数$f(x)$；

（2）函数$f(x)$的单调区间；

（3）函数$f(x)$在区间$[1,e]$上的最小值。

（本小题满分13分）

已知函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx$在$x=1$处取得极大值$4$，在$x=3$处取得极小值$0$，求$a$，$b$，$c$的值。

（本小题满分13分）

某工厂生产一种产品，已知该产品的成本函数为$C(x)=2x^2+5x+100$（单位：元），收入函数为$R(x)=20x-0.1x^2$（单位：元），其中$x$为产量（单位：件）。

（1）求利润函数$L(x)$；

（2）求当产量$x$为多少时，利润$L(x)$最大？最大利润是多少？

（本小题满分13分）

已知函数$f(x)=e^x-ax-1$（$a$为常数）。

（1）当$a=1$时，求函数$f(x)$的单调区间；

（2）若函数$f(x)$在$R$上单调递增，求$a