第四节有理函数的不定积分.pptVIP

思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？解答分解后的部分分式必须是最简分式.第30页，共43页，星期日，2025年，2月5日练习题第31页，共43页，星期日，2025年，2月5日第1页，共43页，星期日，2025年，2月5日一、有理函数的不定积分两个多项式的商表示的函数称为有理函数.其中m、n都是非负整数;a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是实数，并且a0?0,b0?0.nm,R(x)称为真分式；n?m,R(x)称为假分式.利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如第2页，共43页，星期日，2025年，2月5日一个真分式总可以分解成若干个部分分式之和.其中部分分式的形式为：难点将有理函数化为部分分式之和.第3页，共43页，星期日，2025年，2月5日（1）分母中若有因式，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为第4页，共43页，星期日，2025年，2月5日（2）分母中若有因式，其中则分解后为特殊地：分解后为第5页，共43页，星期日，2025年，2月5日真分式化为部分分式之和的待定系数法例1第6页，共43页，星期日，2025年，2月5日代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例2第7页，共43页，星期日，2025年，2月5日例3整理得第8页，共43页，星期日，2025年，2月5日四种典型部分分式的积分:变分子为再分项积分.第9页，共43页，星期日，2025年，2月5日说明将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：多项式；这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论有理函数的原函数都是初等函数.第10页，共43页，星期日，2025年，2月5日求的步骤：1.将Q(x)在实数范围内分解成一次式和二次质因式的乘积.2.将拆成若干个部分分式之和.(分解后的部分分式必须是最简分式).3.求出各部分分式的原函数,即可求得第11页，共43页，星期日，2025年，2月5日例4求积分解第12页，共43页，星期日，2025年，2月5日例5求积分解第13页，共43页，星期日，2025年，2月5日例6求积分解原式第14页，共43页，星期日，2025年，2月5日例7求积分解原式第15页，共43页，星期日，2025年，2月5日注意将有理函数分解为部分分式求积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构特点，灵活处理，寻求简便的方法求解.例8求积分解原式第16页，共43页，星期日，2025年，2月5日由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角函数有理式.二、三角函数有理式的不定积分一般记为R(sinx,cosx).(万能代换公式)化为了u的有理函数的积分.第17页，共43页，星期日，2025年，2月5日例1求积分例2求积分例3求积分比较以上三种解法,便知万能代换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能代换.第18页，共43页，星期日，2025年，2月5日例3求积分解第19页，共43页，星期日，2025年，2月5日解法二令第20页，共43页，星期日，2025年，2月5日解法三比较以上三种解法,便知万能代换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能代换.第21页，共43页，星期日，2025年，2月5日例4求积分说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换例5求积分第22页，共43页，星期日，2025年，2月5日例5求积分解第23页，共43页，星期日，2025年，2月5日三、简单无理函数的不定积分被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换化为有理函数的积分.讨论类型(主要三种)第24页，共43页，星期日，2025年，2月5日例1求积分解原式第25页，共43页，星期日，2025年，2月5日例2求积分解原式第26页，共43页，星期日，2025年，2月5日例3求积分解原式第27页，共43页，星期日，2025年，2月5日例4