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第四章常微分方程数值

解法

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常微分方程数值解法

•引言（常微分方程数值解法概述）

•显式欧拉法、隐式欧拉法、二步欧拉法

•局部截断误差与精度

•改进的欧拉方法

•龙格-库塔方法

•收敛性与稳定性简述

•一阶常微分方程组与高阶常微分方程

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引言

•一阶常微分方程初值问题：

yf(x,y)微分方程



y(x0)y0初始条件

定理：若f(x,y)在某闭区域R：

|xx0|a,|yy0|b(a0,b0)

上连续，且在R域内满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存

在正数L，使得对于R域内的任意两值y1,y2，下列不等式

成立：

|f(x,y1)f(x,y2)|L|y2y1|

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则上述初值问题的连续可微的解存在并且唯一。

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引言（续）

•实际生产与科研中，除少数简单情况能获得初值问题

的初等解（用初等函数表示的解）外，绝大多数情况

下是求不出初等解的。

•有些初值问题即便有初等解，也往往由于形式过于复

杂而不便处理。

•实用的方法是在计算机上进行数值求解：即不直接求

y(x)的显式解，而是在解所存在的区间上，求得一系

列点xn(n0,1,2,…)上解的近似值。

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欧拉（Euler）方法

•方法一化导数为差商的方法

y(xh)y(x)y(x)y(x)

nnn1n

y(xn)lim

h0hh

•由于在逐步求解的过程中，y(xn)的准确值无法求解出来，

因此用其近似值代替。

•为避免混淆，以下学习简记：

•y(xn)：待求函数y(x)在xn处的精确函数值

•yn：待求函数y(x)在xn处的近似函数值

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y(xh)y(x)y(x)y(x)

nnn1n

y(xn)lim

h0hh

yy

•代入初值问题表达式可得：n1nf(x,y)

hnn

yn1ynhf(xn,yn)n0,1,2,

