（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步精讲精练专题2.5 点、线间的对称关系（解析版）.docxVIP

专题2.5点、线间的对称关系-重难点题型精讲

1．点关于点的对称

2．直线关于点的对称

3．两点关于某直线对称

(4)几种特殊位置的对称：

4．直线关于直线的对称

【题型1点关于点的对称问题】

【方法点拨】

点关于点对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对

称问题.

【例1】若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（????）

A．(0,4) B．(0,2) C．(?2,4) D．(4,?2)

【解题思路】根据中点坐标公式即可求解.

【解答过程】解：设Ba,b，由题知，点A和点B的中点为2,1

4+a2=20+b2=1解得：a=0，b=2

【变式1-1】点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点的坐标为(5,6)．

【解题思路】由中点坐标公式求解即可

【解答过程】设点A(1,2)关于点P(3,4)对称的点为B(x,y)，则点P为AB的中点．

∴3=1+x24=2+y2解得x=5y=6．∴点A(1,2)关于点

【变式1-2】点A（5，8），B（4，1），则A点关于B点的对称点C的坐标为3,?6．

【解题思路】设出A点关于B点的对称点C的坐标，然后直接代入中点坐标公式计算．

【解答过程】设C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B点是A，C的中点，

所以x+52=4y+82=1，解得x=3y=?6．所以

【变式1-3】已知点A(x,5)关于点(1,y)的对称点为(?2,?3)，则点P(x,y)到原点的距离是17.

【解题思路】根据对称性，结合中点坐标公式、两点间距离公式进行求解即可.

【解答过程】根据中点坐标公式，得x?22=1，且5?32=y．解得x=4，y=1，所以点

则点P(x,y)到原点的距离d=(4?0)2+

【题型2直线关于点的对称问题】

【方法点拨】

【例2】直线l:4x+3y?2=0关于点A1,1对称的直线方程为（????

A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0

C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0

【解题思路】首先设对称直线上任意一点Px,y，得到Px,y关于A1,1对称点为2?x,2?y

【解答过程】设直线l:4x+3y?2=0关于点A1,1对称的直线上任意一点P

则Px,y关于A1,1对称点为2?x,2?y，又因为2?x,2?y在

所以42?x+32?y?2=0

【变式2-1】直线2x+3y?6=0关于点?1,2对称的直线方程是（????）

A．3x?2y?10=0 B．3x?2y?23=0

C．2x+3y?4=0 D．2x+3y?2=0

【解题思路】设对称的直线方程上的一点的坐标为x，y,则其关于点?1,2对称的点的坐标为(?2?x,4?y)，代入已知直线即可求得结果.

【解答过程】设对称的直线方程上的一点的坐标为x，y，则其关于点?1,2对称的点的坐标为(?2?x,4?y)，因为点(?2?x,4?y)在直线2x+3y?6=0上，所以2?2?x+34?y

【变式2-2】直线ax+3y?9=0与直线x?3y+b=0关于原点对称，则a,b的值是

A．a=?1，b=?9 B．a=?1，b=9

C．a=1，b=?9 D．a=1，b=9

【解题思路】直线ax+3y﹣9＝0上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（﹣m，﹣n），分别代入已知的直线方程，即可求得结论．

【解答过程】直线ax+3y﹣9＝0上任意取点（m，n），关于原点对称点的坐标为（﹣m，﹣n），则am+3n?9=0?m+3n+b=0∵点（m，n）是直线ax+3y﹣9＝0上任意一点∴a＝﹣1，b＝﹣9故选A

【变式2-3】直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（????）

A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0

【解题思路】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.

【解答过程】由ax＋y＋3a－1＝0得x+3a+

由x+3=0y?1=0，得x=?3y=1，∴

设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x+3y+C=0C≠?6

∴?6+3?64+9=?6+3+C4+9，解得:

∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．

故选：B．

【题型3点关于直线的对称问题】

【方法点拨】

点关于直线的对称问题有三种情况：

【例3】点P(2,0)关于直线l:x+y+1=0的对称点Q的坐标为（????）

A．(?1,?3) B．(?1,?4) C．(4,1) D．(2,3)

【解题思路】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两