（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步精讲精练专题2.8 圆与圆的位置关系（原卷版）.docxVIP

专题2.8圆与圆的位置关系-重难点题型精讲

1．圆与圆的位置关系及判断方法

(1)圆与圆的位置关系

圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.

(2)圆与圆的位置关系的判定方法

①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：

设两圆与的圆心距为d，则d=，两圆的位置关系表示如下：

②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.

当0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当0时，

两圆无公共点，包括内含与外离.

2．两圆的公切线

(1)两圆公切线的定义

两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.

(2)两圆的公切线位置的5种情况

①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；

②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；

③相交时，有2条公切线，都是外公切线；

④内切时，有1条公切线；

⑤内含时，无公切线.

判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。

(3)求两圆公切线方程的方法

求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，

设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在.

3．两圆的公共弦问题

(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法

两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.

设圆:，①

圆:，②

①-②，得，③

若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点

满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.

(2)求两圆公共弦长的方法

①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股

定理求出公共弦长.

4．圆系方程及其应用技巧

具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程.常见的圆系方程有以下几种：

(1)以(a,b)为圆心的同心圆系方程是.

(2)与圆同心的圆系方程是.

(3)过同一定点(a,b)的圆系方程是.

(4)过直线Ax+By+C=0与圆的交点的圆系方程是

.

(5)过两圆:和:的交点的圆系方程是

().(其中不含有圆:

,注意检验是否满足题意,以防漏解).

①当时，l:为两圆公共弦所在的直线方程.

②当两圆相切(内切或外切)时，l为过两圆公共切点的直线方程.

【题型1圆与圆的位置关系及判定】

【方法点拨】

判断圆与圆的位置关系的一般步骤：

①将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要);②分别求出两圆的圆心坐标和半

径；③求两圆的圆心距d；④比较d与的大小关系；⑤根据大小关系确定位置关系.

【例1】圆(x+1)2+y2=4

A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

【变式1-1】已知圆C1:x2+

A．内切 B．相交 C．外切 D．外离

【变式1-2】已知圆C1:x2+y2?2x+my+1=0(m∈R)的面积被直线x+2y+1=0平分，圆

A．外离 B．相交 C．内切 D．外切

【变式1-3】已知直线l:mx+y?3m?2=0与圆M:(x?5)2+(y?4)2=25交于A,B两点，则当弦AB最短时，圆

A．内切 B．外离 C．外切 D．相交

【题型2由圆与圆的位置关系确定参数】

【方法点拨】

根据两圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值

范围，注意相切和相离均包括两种情况.

【例2】已知圆C1(x?2)2+(y+2)2=r2(r0)与圆

A．7 B．3 C．3或7 D．5

【变式2-1】已知圆C:x?32+y?42=25?m与圆

A．1 B．9 C．10 D．16

【变式2-2】已知圆C1：x?32+y+22=1与圆C2：x?72+

A．14 B．34 C．14或45 D．34或14

【变式2-3】若圆C1:x2+y2

A．12 B．23 C．1

【题型3与两圆相切有关问题】

【方法点拨】

处理两圆相切问题，首先必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉两圆相切，则必须分两圆内切和外切

两种情况讨论；其次，将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆

半径之和(外切时).

【例3】设圆C1:x2+y2?2x+4y=4，圆

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【变式3-1】下列方程中，圆C1:x2?2x+

A．x+3y+3=0

C．3x+y+3=0 D．

【变式3-2】圆x2+y?22=4与圆