（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步精讲精练专题3.2 椭圆的简单几何性质（原卷版）.docxVIP

专题3.2椭圆的简单几何性质-重难点题型精讲

1．椭圆的范围

设椭圆的标准方程为(ab0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范

围.

(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里.

(2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，

即-b≤y≤b.

2．椭圆的对称性

(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.

(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程(ab0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点

P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.

3．椭圆的顶点与长轴、短轴

以椭圆的标准方程(ab0)为例.

(1)顶点

令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.

这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x

轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.

(2)长轴、短轴

线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.

长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.

4．椭圆的离心率

(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.

(2)离心率的范围：0e1.

(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.

当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接

近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.

5．椭圆的几何性质的挖掘

(1)椭圆的通径：

过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，通径长为=.

说明：无论焦点在x轴上还是在y轴上，椭圆的通径长均为.

(2)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点.

(3)椭圆的焦半径

a.焦半径定义：椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径.

b.焦半径公式：

已知点P在椭圆上，且，分别是左(下)、右(上)焦点，

当焦点在x轴上时，=a+，=a-；当焦点在y轴上时，=a+，=a-.

【题型1利用椭圆的几何性质求标准方程】

【方法点拨】

(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：a.确定焦点的位置；b.设

出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；c.根据已知条件构造关于参数的

关系式，利用方程(组)求参数.列方程(组)时常用的关系式有，e=等.

(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆的

标准方程可能有两个.

【例1】已知椭圆C:x2a2+y2

A．x22+y2=1 B．x

【变式1-1】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为13，A1,

A．x218+y216=1 B．

【变式1-2】焦点在y轴上，长轴长为10，离心率为35的椭圆的标准方程为（????

A．x2100+

C．x225+

【变式1-3】中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点2,0的椭圆方程是（????

A．x24+y2

C．x24+y2

【题型2椭圆的焦距与长轴、短轴】

【方法点拨】

根据已知条件，结合椭圆的焦距与长轴、短轴等知识，进行求解即可.

【例2】椭圆C:x216

A．8，4，(±23,0) B．8，4，(0,±23) C．4，2，(±23,0)

【变式2-1】已知椭圆x2+2y2=2

A．有相同的长轴与短轴 B．有相同的焦距

C．有相同的焦点 D．有相同的离心率

【变式2-2】椭圆x237+

A．23 B．5 C．43

【变式2-3】若椭圆x225+y2

A．有相等的长轴长 B．有相等的焦距

C．有相等的短轴长 D．长轴长与焦距之比相等

【题型3求椭圆的离心率或其取值范围】

【方法点拨】

求椭圆的离心率通常有如下两种方法：

①若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，求出a，c的值，利用公式e=直接求解；

②若椭圆方程未知，则根据条件及几何图形建立a，b，c，e满足的关系式，化为a，c的齐次方程，得出

a，c的关系或化为e的方程求解，此时要注意e∈(0,1).

【例3】已知椭圆C:x2m+y

A．55 B．12或55 C．12或32

【变式3-1】若椭圆C:x2a2+y2

A．0,55 B．55,1 C．

【变式3-